多元變量最值問題解法探析_方立新

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1、解題研究多元變量最值問題解法探析方立新（江蘇省揚(yáng)中市外國語中學(xué)）多變量函數(shù)最值問題因形式活潑、題型新穎、蘊(yùn)含著豐富使未知數(shù)的個數(shù)減少，直到能夠解決為止。的思想方法，一直深受命題者的青睞。這類問題，能較好地考例3若實(shí)數(shù)a，b滿足ab-4a-b+1=0（a>0），則（a+查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度，檢驗(yàn)學(xué)生思維1）（b+2）的最小值為_______。靈活性，因此正逐漸成為考試或競賽的熱點(diǎn)問題。但由于其綜4a-1解：因?yàn)閍b-4a-b+1=0，所以b=。a-1合性強(qiáng)、解法靈活多變的特點(diǎn)，從而也是學(xué)生的難點(diǎn)

2、問題，正4a-1確率較低。文章就高中階段常見多變量最值問題的解法舉例進(jìn)所以（a+1）（b+2）=（a+1）2+22。a-1行闡述。令t=a-1，則上式可化為（t+2）23+62=15+6+6t≥27。一、均值定理法tt當(dāng)題目是已知和（積）為定值求積（和）的最值時，往往【評析】此題通過消元法，將二元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量可以用均值定理來求解，高中階段主要是借助于二元的均值定問題來解決。當(dāng)然，多元變量問題也可以通過消元轉(zhuǎn)化為二元理即基本不等式來解決。如果遇到多元的時候，則用多元均值問題或者是一元問題。定理、柯西不等式

3、或者消元后用基本不等式。例4已知對任意實(shí)數(shù)x，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c≥0姨aca+b+c例1已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，則恒成立，且a0，且b2-解：a，b，c∈（0，+∞），由已知條件等式得2b=3a+c≥b24ac≤0，所以c≥。4a姨ac12姨3ac，所以≤。2b姨3a+b+bba+b+c4a4+4t+t2令=t>1，則≥==例2設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足

4、x2-3xy+4y2-z=0，則當(dāng)xyab-ab-a4（t-1）z1（2t-1）+9+62≥3。取得最大值時，2+1-2的最大值為_________。4t-1xyz三、整體換元法解：由x2-3xy+4y2-z=0，可得z=x2-3xy+4y2，解決多變量最值問題的過程中，整體換元可將變量個數(shù)減xyxy11故==≤=1，zx2-3xy+4y2x4y少或?qū)⒉灰浊笞钪档氖阶觿潪楸阌谟靡恍┗静坏仁絹斫獯鸬?-32姨4-3yx形式，從而使問題得到解答。x4y例5設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大當(dāng)

5、且僅當(dāng)=，即x=2y時等號成立。yx值為__________。此時，z=2y2，故2+1-2=-1+2=-21-122+1，222解：4x+y+xy=1，所以（2x+y）-3xy=1。xyzy2yy2x+y2t2212令2x+y=t，則2x·y≤22，即xy≤，所以因此，當(dāng)y=1時，2+-2max=1。28xyz【評析】此題消元后化為學(xué)生熟悉的二次函數(shù)的最值問題，t2-1≤3t2。8將均值不等式的應(yīng)用與二次函數(shù)的最值問題有機(jī)結(jié)合起來，一282姨102姨10氣呵成，渾然一體。即t≤，-≤t≤。555二、減元消元法2

6、姨10所以2x+y的最大值為。多元變量的最值問題，消元是最樸素的方法。當(dāng)題目中出5現(xiàn)兩個及其以上的變量時，可利用已知條件消去一些未知數(shù)，【評析】根據(jù)條件形式，將目標(biāo)2x+y看成是一個整體，是［2015年第8期］43解題研究解決本例的關(guān)鍵所在。程，因此目標(biāo)是求點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（3，0）連線斜率的最大值問題。xy五、線性規(guī)劃法例6已知x，y為正數(shù)，則+的最大值為3x+yx+2yb+c≤2a，________。例9在△ABC中，已知三邊a，b，c滿足△則c+a≤2b，2m-n3n-m解：設(shè)3x+y=m，x+2y=n，則

7、x=，y=。b55的取值范圍是_______。axy2m-n3n-mnm所以+=+=1--≤△a+b>c，3x+yx+2y5m5n5m5n△△△解：因?yàn)閍，b，c是三角形三邊，則△a+c>b，將所有的23△1-=。△55△△b+c>a，所以x+y的最大值為3。不等式兩邊都同除以a得：3x+yx+2y5△bc△1+>，【評析】將所求表達(dá)式的兩個分母分別看成是兩個整體，先△△bc△aa△+≤2，△△△用換元法，將條件中的x，y用所設(shè)的變量表示，后用基本不等△△aa△△cbbc△△1+>，令=x，=y，△△aaaa式求

8、解?！鱟b△△+1≤2，△△aa△四、三角代換法△△bc△+>1，△aa△例7已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc+a+c=b，設(shè)p=△x+y≤2，△y≤-x+2，△△223△△-+，求p的最大值?！鳌鱝2+1b2+1c2+1△y+1≤2x，△yy，即△y>x-1，解：設(shè)a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈∈0，∈，△△