多元變量的最值

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1、二輪專題復(fù)習(xí)：多元變量的最值（范圍）引入：最值問題是中等數(shù)學(xué)中永恒的話題，也是江蘇高考的熱門考點(diǎn)。而在最值求解中，多元變量得最值問題因其技巧性強(qiáng)，難度大，方法多，靈活多變而更具挑戰(zhàn)，也成為了最值求解中的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1、若正數(shù)滿足.（1）求的最小值；法一：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。策略：借助“1”的代換，構(gòu)造出積為定值，利用基本不等式求得和的最值。法二：令探求的范圍，再求函數(shù)最值。策略：消元，使二元問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。（2）求的最大值.分析：令，則又接下來(lái)研究二次函數(shù)在給定定義域上的值域。答案：

2、策略：運(yùn)用換元，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。2、已知，求的最大值.法一：線性規(guī)劃。策略：賦予目標(biāo)及條件相應(yīng)的幾何意義。法二：三角換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。策略：用一個(gè)角統(tǒng)一兩個(gè)元，達(dá)到減元的目的，仍然轉(zhuǎn)化為函數(shù)就最值。請(qǐng)學(xué)生通過基礎(chǔ)訓(xùn)練，總結(jié)歸納多元變量求最值（范圍）的策略，并板書。解決策略：策略一：利用基本不等式。注意條件：“一正二定三相等“換元，注意換元換范圍策略二：化歸轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值消元，注意消元留范圍策略三：數(shù)形結(jié)合，賦予條件及目標(biāo)相應(yīng)的幾何意義一、例題講解例1：已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最

3、小值是__7______．利用基本不等式例2：（1）若是正實(shí)數(shù)，則的最小值是.(2)若是正實(shí)數(shù)，則的最小值是.換元法請(qǐng)學(xué)生觀察（1），（2）的關(guān)系，有何發(fā)現(xiàn)？最小值一樣，（2）中的最值就在當(dāng)時(shí)取到，此法可在填空題中嘗試。例3：如圖,在扇形中，∠，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是[1,4].法一：三角換元法二：線性規(guī)劃例4：已知正數(shù)滿足：，則的取值范圍是________．答案：[e，7]解析：條件5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，可化為設(shè)＝x，y＝，則題目轉(zhuǎn)化為：已知x，y滿足求的取值范圍

4、．作出(x，y)所在平面區(qū)域(如圖)．求出y＝ex的切線的斜率e，設(shè)過切點(diǎn)P(x0，y0)的切線為y＝ex＋m(m≥0)，則＝＝e＋，要使它最小，須m＝0.∴的最小值P(x0，y0)處，為e.此時(shí)，點(diǎn)P(x0，y0)在y＝ex上A、B之間．當(dāng)(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)，y＝7x＝7，∴的最大值在C處，為7.∴的取值范圍為[e，7]，即的取值范圍是[e，7]．課堂小結(jié)：多元變量求最值的幾大策略。一、鞏固練習(xí)1.(2013·天津卷)設(shè)a＋b＝2，b>0，則＋的最小值為________．答案：解析：＋＝＋＝＋

5、＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，a<0，即a＝－2，b＝4時(shí)取等號(hào)，故最小值為.2、設(shè)x、y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，求＋的最小值為____________．答案：解析：由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)在(4，6)處取得最大值12，∴2a＋3b＝6，從而有＋＝(＋)(2a＋3b)＝＝＋＝＋≥＋2＝.3.若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值為________．答案：9解析：由題意，x＝1是f′(x)＝12x2－2

6、ax－2b的一個(gè)零點(diǎn)，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此ab≤＝＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)等號(hào)成立．四、課后作業(yè)1．已知實(shí)數(shù)、滿足，ks5u則的最小值為.2．如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，是圓上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量（、為實(shí)數(shù)），則的最大值為.3．已知正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值為．4．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是．5．設(shè)、均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.6．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最大值為.有根，，所以，，，所以（，時(shí)取“”）；7

7、．已知，，，則的最小值為.8．已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為．9．已知、、（）成等差數(shù)列，將其中的兩個(gè)數(shù)交換，得到的三數(shù)依次成等比數(shù)列，則的值為.設(shè)公差為，若是等比中項(xiàng)，則，所以，不符合題意；若是等比中項(xiàng)，則，所以，此時(shí)三個(gè)數(shù)為，，，；若是等比中項(xiàng)，則，所以，此時(shí)三個(gè)數(shù)為，，，.10、江蘇2013年9．拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)椋ò切蝺?nèi)部與邊界）。若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是。江蘇2010年12、設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是▲。。[解析]考查不

8、等式的基本性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。，，，的最大值是27。