例談三角函數(shù)最值的求解策略

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1、例談三角函數(shù)最值的求解策略江蘇省運河中學(xué)石啟剛?cè)呛瘮?shù)的最值是三角函數(shù)屮最基木的內(nèi)容，是對三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，以及對誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式的綜合考查。是函數(shù)的內(nèi)容的交匯點，也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，在實際中有廣泛的應(yīng)用。因此歷年高考屮占有很重要的地位，也是高考命題的熱點。對這類問題只要我們找到恰當?shù)姆椒?，就可以簡捷地求解。?面舉例介紹兒種三角兩數(shù)最值的常用求解策略。一、化為一個角的三角函數(shù)例1當一—

2、和最小值。22解/(X)=sinx+a/3cosx=2sin(兀+—)??/13sin(x4-20+0)22=3sin(兀+20°)

3、+sin(x+20)cos60+cos(x+20°)sin60°其中tan^>=^-,A函數(shù)/(兀)的最大值為JH。例3求函數(shù)/(x)=sin2x+2sin兀cosx+3cos2x的最大值。sa解/(x)=sinx+2sinxcosx+3cosx.?1-cos2x3(1+cos2x)=sm2x++其中士sing新1,函數(shù)心的最大值為2+血,最小值為2-屈例4求函數(shù))=―(0

4、n(p=y)/.sin(x-(p)=.,v0

5、<1,JiySO心侖*孚m當x-(p=—時，tan(p=-,這時(p=-—9x=—2363即x=-時，函數(shù)y収得最小值為一23反思總結(jié)將函數(shù)表達式化為只含有一個三角兩數(shù)的式子,是求解三角函數(shù)最值最常川的一種變形策略。在上述類型屮，最關(guān)鍵的一步是利用公式asinx+^cosx=Ja2-{-b2sin(x+^)(其中(p=tan―)來進行變形，然后利用正弦函a數(shù)的有界性來確定三角函數(shù)的最值，特別需要注意的是，不能忽略兩數(shù)的定義域。”值。二、化

6、為多項式函數(shù)求函數(shù)y=cos2x-cosx+l(^

7、xcosx=t2-1v1/八2.冗兀、二y-_-_+f+1=—(t+1)TXG226212442當/=竺二時，即工=一纟吋，函數(shù)y取得最小值竺＜3當1=41時，即x=-時，函數(shù)y取得最人值彳+2血42例7已知xg[0,^],求函數(shù)j=(cos2x+l)sinx的最大值。解y=(cos2x+l)sinx=2cos2xsinx=2(1-sin2x)sinx=-2sin3x+2sinx令/=sinx,則y=-2/3+2t.y=-6t2+2令站>0,即—6廠+2>0乂vxe[0,^]asinxg[0,1],

8、即tg[0,1]所以函數(shù)y=_2尸+2/的單調(diào)增區(qū)間為[0,冷-],的單調(diào)減區(qū)間為[冷-,1]。33所以當2*時，即sin“魯時,函數(shù)"伽2’+1)心取得最大值竽。反思總結(jié)若函數(shù)表達式可化為只含有一個三角函數(shù)的式了，通常采取換元法將其變?yōu)槎囗検胶瘮?shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性求解三介函數(shù)的最值。特別的是對于表達式中同時含sinx±cosx,sinxcosx的函數(shù)，應(yīng)考慮到(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx,可利用換元法變?yōu)槎囗検胶瘮?shù)再對其求解。三、化為分式函數(shù)亠pm1+tantan—=—,2x3

9、x+tan—+tan—2,x2tan—2x-tanxr,曰宀例8求函數(shù)y=1的最值。1+tanx+tanx“1+tan2x一tanx1-sinxcosx2-sin2x解y=2=——:=—:—1+tanx+tanx1+sinxcosx2+sin2x2-t4令/=sin2兀，貝I」y==-1+2+t2+ttsin2xg[-1,1]，Tfw，??2+(w[1,3]若3],UUje[

10、,3]o十「°叫1+tan2x-tanx亠口】八“宀口「八“1所以函數(shù)丿=7的