例談三角函數(shù)最值問(wèn)題的求解策略

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1、例談三角函數(shù)最值問(wèn)題的求解策略　三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具之一，三角函數(shù)最值問(wèn)題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問(wèn)題。這部分內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn)，它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。解決這一類問(wèn)題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)最值問(wèn)題。下面就介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法?！　∫弧⒖赊D(zhuǎn)化為y=Asinωx+φ+B形式　　形如y=asinx+bcosx的函數(shù)可以利用輔助角公式轉(zhuǎn)化成y=a2+b2s

2、inx+φ（其中tanφ=ba）的形式，再利用正、余弦函數(shù)的有界性求得最值，不是這種類型的可通過(guò)三角恒等變換變形為這種類型?！　±?求函數(shù)y=sin2x+3sinxcosx－1的最值，并求取得最值時(shí)的x值?！　〗猓簓=32(1－cos2x)+32sin2x－1=32sin2x－12cos2x－12=sin(2x－π6)－12，　　∴當(dāng)2x－π6=2kπ+π2,即x=kπ+π3(k∈Z)時(shí)，y取得最大值，ymax=12；　　當(dāng)2x

3、－π6=2kπ－π2,即x=kπ－π6(k∈Z32?！　《?、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式　　若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且它們次數(shù)是2時(shí)，一般就需要通過(guò)配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理?！　±?函數(shù)y=－sin2x－3cosx+3的最小值為（）?！　—?A)2(B)0　　(C)－14(D)6　　解析：本題可通過(guò)公式sin2x=1－cos2x將函數(shù)表達(dá)式化為y=cos2x－3cosx+2，因含有cosx的二次式，可換元，令cosx=t，則－

4、1≤t≤1,y=t2－3t+2,配方，得y=t－322－14（－1≤t≤1）∴當(dāng)t=1時(shí),即cosx=1時(shí)，ymin=0,選B。　　三、利用三角函數(shù)的有界性　　利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法?！　∷?、利用基本不等式法　　利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理地拆添項(xiàng)，湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，否則會(huì)陷入誤區(qū)?！　±?已知0＜x＜π，求函數(shù)y=9x2sin2x+4xsinx的最小值?！　〗猓河?＜x＜π，得xsinx＞0，根據(jù)均值不等式y(tǒng)=9x

5、2sin2x+4xsinx=9xsinx+4xsinx≥　　29xsinx4xsinx=12，當(dāng)9xsinx=4xsinx，即x2sin2x=49時(shí)，等號(hào)才成立，即有ymin=12。　　五、利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性　　例4已知x∈0,π，求函數(shù)y=sinx+2sinx的最小值。　　解：設(shè)sinx=t0＜t≤1,y=t+1t在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，ymin=3?！　×?、數(shù)形結(jié)合　　由于sin2x+cos2x=1，所以從圖形考慮，點(diǎn)(

6、cosx,sinx)在單位圓上，這樣對(duì)一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問(wèn)題可考慮用幾何方法求得?！　±?求函數(shù)y=sinxcosx+2的最大值和最小值?！　〗猓簓=sinxcosx+2的幾何意義為兩點(diǎn)P(－2,0),Q(cosx,sinx)連線的斜率k，而Q點(diǎn)的軌跡為單位圓，由圖（此略）可知,ymax=33,ymin=－33?！　∑?、整體換元法　　解決sinx±cosx,sinxcosx同時(shí)出現(xiàn)的題型：運(yùn)用關(guān)系式sinx±cosx2=1±2

7、sinxcosx,一般都可采用整體換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍?！　±?求函數(shù)y=4－3sinx4－3cosx的最小值?！　〗猓簓=16－12sinx+cosx+9sinxcosx，令t=2sinx+π4,t∈－2，2，則sinxcosx=t2－12∴y=92t－432+72，t∈－2，2，所以，當(dāng)t=43時(shí)，ymin=72?！　“?、判別