例談用基本不等式求解最值問題的常見策略-論文.pdf

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1、例談用基本不等式求解最值問題的常見策略巖徐勝(浙江麗水學院附屬高級中學，浙江麗水323000)利用基本不等式n_≥、(a>0，b>0，當且僅當a=b時等解：由條件可得：a=二D一2b=二D÷≥+V丁角號成立)求最值問題是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一。它不僅要考查通過把a用關(guān)于b的式子代換，最終達到利用基本不等式學生的邏輯思維能力，還要考查學生的轉(zhuǎn)化思想以及運算能力。求最值。高考試題中涉及到運用基本不等式求最值的問題較多，這類問(3)整體代換：已知非零實數(shù)x,y滿足x2+xy+yZ=3，則題雖源于課本卻高于課本，在課堂教學中，這

2、部分內(nèi)容應(yīng)當適當x2+xy+y2=3,．~0x2_xy+y的取值范圍是——提高，但這并不是增加新的的不等式，而是對基本不等式運用的解：當xy>0時，x2+y2=-3一xyI>2xy0

3、=3—2xy∈【1,3)u【3,9)構(gòu)造和或積為常數(shù)，創(chuàng)造利用不等式的條件。通過整體代換，將多項式轉(zhuǎn)化為簡單的形式，從而易于找出例題1：(1)求y=x(I一3x)，x∈(0，1)的最大值題目的突破口。四、換元法解：y=丁13x(1-3x)≤1．．()z-古，當且僅當(1)已知x∈R，則Y=~／iL,J、值Vx2+43x=l一3x，即x=1等號成立。此處通過乘除一個常數(shù)3，使和3x=o解：令、／=t(tI>21，(1—3x)是一個定值1，利用、≤半直接求最值。則y=何_二爿斗(1i>2)(2)求y=x+(x<1)的最大值，

4、因在區(qū)間2，+。。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y≥，此題學生容易解：y=x+—=1一(1一x+)’．．當x=O時等號成立得出錯誤的答案最小值為2，沒考慮等號是否成立。(2)若x，Y為正實數(shù)，則享盟+—的最小值是——點評：本小題通過加減項，使積是一個定值，從而利用基本ZX十VX+V不等式解決問題。解：設(shè)2x+y=a，x+2y=b，(3)若a,b，c>O且a(a+b+c)+bc=4—2、／丁，則2a+b+c的最小值b_一則原式=了3+丁3=+為——ab3a313≥學j解：(a+b)+(a+c)≥2、鬲=2、／丁一2本題不能直接利用均

5、值不等式求最值，但巧妙的將兩個分點評：使化簡整理，將a+b，a+c這兩個式子看成一個整體，母分別換元，從而為利用基本不等式創(chuàng)造了條件整體思想的應(yīng)用。在利用基本不等式求最值是，一定要注意一些變形技巧，積二、構(gòu)造法極創(chuàng)造條件利用基本不等式，在具體的應(yīng)用中，對于每一道題，例題2：a>0，b>O，若a+b=ab一3，求a+b最小值都要認真觀察所給式子的特點，然后結(jié)合條件選擇適當?shù)淖冃谓猓篴+b+3=ab≤(旦去)a+h≥3或a+h≤1(舍)方法，并要注意一題多法，多法合用，這樣才能達到熟練自如的掌握基本不等式求最值的技巧。點評：

6、本小題的解法特點是利用基本不等式，構(gòu)造出關(guān)于和a+b的不等式，從而使問題獲得解決．．參考文獻：三、代入法[1】嚴飴慈．數(shù)學解題不應(yīng)是公式、規(guī)則的演繹卟數(shù)學通報，例題3：(1)數(shù)字代換：2010，6(4)．已知a,b∈R+，a+2b=1，求+的最小值【2]譚金恒．使用均值不等式求最值的變形技巧．中學生數(shù)理通過將數(shù)字?1’用條件所給式子代換，達到化簡求值的效果。化．2013．9．(2)字母代換：已知a>O,b>0，且【_1，則a+2b的最小值為——