第17講:高頻考點分析之極限、導數(shù)和定積分探討

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1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學專題講座】第17講:高頻考點分析之極限、導數(shù)和定積分探討江蘇泰州錦元數(shù)學工作室編輯1?2講,我們對客觀性試題解法進行了探討,3?8UI-,對數(shù)學思想方法進行了探討,9?12講對數(shù)學解題方法進行了探討,從第13講開始我們對高頻考點進行探討。在我國現(xiàn)在中學數(shù)學新教材中,微積分處于一種特殊的地位,是高中數(shù)學知識的一個重要交匯點,是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關問題的重要工具。微積分的思想方法和基本理論有著廣泛的應用。結合中學數(shù)學的知識,高考中微積分問題主要有以下幾種:1.極限的計算;2.應用導數(shù)求函數(shù)的最(極)值;

2、3.應川導數(shù)討論函數(shù)的增減性;4.導數(shù)的幾何意義和應用導數(shù)求曲線的切線:5.定積分的計算和應用。結合2012年全國各地髙考的實例,我們從以上五方而探討極限、導數(shù)和定積分問題的求解。一、極限的計算:典型例題:x2-9例1?(2012年四川省理5分)函數(shù)/(x)=^x-3在x=3處的極限是【】ln(x-2),x>3A、不存在B、等于6C、等于3D、等于0【答案】Ao【考點】分段函數(shù),極限?!窘馕觥糠侄魏瘮?shù)在兀=3處不是無限靠近同一個值,故不存在極限。故選A。例2?(2012年重慶市理5分)lim—=▲."十』『+5n-n【答案】-o

3、5【考點】極限的運算。例3?(2012年上海市理4分)有一列止方體,棱長組成以1為首項,二為公比的等比數(shù)列,休積分別記為%,嶺,…,匕,…,則lirn(%+V2+…+匕)=?【答案】-O7【考點】無窮遞縮等比數(shù)列的極限,等比數(shù)列的通項公式?!窘馕觥坑烧襟w的棱長組成以1為首項,丄為公比的等比數(shù)列,可知它們的體積則組成了一個以1為首1O項,上頭公比的弊比數(shù)如.慶1此.

4、imfV.+K+...4-V1=-^=-二、應用導數(shù)求函數(shù)的最(極)值:典型例題:例1.(2012年重慶市理5分)設函數(shù)/(兀)在/?上可導,其導函數(shù)為f(x),且

5、函數(shù)y=(}-x)f(x)的圖像如題圖所示,則下列結論屮一定成立的是【】(A)函數(shù)/(X)有極大值/(2)和極小值/(I)(B)函數(shù)/(X)有極大值/(-2)和極小值/(I)(C)函數(shù)/(兀)有極大值/(2)和極小值/(-2)(D)函數(shù)/(兀)有極大值/(-2)和極小值/(2)【答案】Do【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件,函數(shù)的圖象。【分析】由圖象知,y=(l-x)f(x)與兀軸有三個交點,—2,1,2,Af(-2)=0,f(2)=0o由此得到X,y,1-x,f(x)和/(切在(-00,+00)上的情況:X(一8,-2)-2(-

6、2,1)1(1,2)2(2,+8)y+0—0+0—1-x+++0——————fM+0———0+fM/極大值X非極值極小值/???/(%)的極大值為/(-2),/(%)的極小值為/(2)o故選Do例2?(2012年陜西省理5分)設函數(shù)f(x)=xe則【】A.x=l為f(x)的極大值點B.x=1為/(x)的極小值點C.x=-為/(兀)的極人值點D.x=-l為/⑴的極小值點【答案】Do【考點】應川導數(shù)求函數(shù)的極值?!窘馕觥???廣(兀)=(兀+1)/,令廣(x)=0,得兀=一1。???當x<-1時,廣(兀)<0,/(%)=xex為

7、減函數(shù);當x>-1時,fx)>0,/(x)=xex為增函數(shù),所以x=-l為于(兀)的極小值點。故選D。2例3?(2012年陜西省文5分)設函數(shù)/(x)=-+lnx則【】XA."丄為/(兀)的極大值點B.x=-為/(x)的極小值點22C.兀=2為/(x)的極大值點D.兀=2為/(X)的極小值點【答案】Do【考點】應用導數(shù)求函數(shù)的極值。?1r-?【解析】???廣(兀)二—呂+丄二寧,令廣(力=0,得兀=2。2?:當Ovxv2時,/'(%)<0,/(x)=—+lnx為減函數(shù);x2當x>2時,/z(x)>0,/(x)=-+lnx為增函

8、數(shù)。/?x=2為/(x)的極小值點。故選D。例4?(2012年廣東省理14分)設/<1,A={xe/?

9、x>0},B={xe/?

10、2x2-3(1+a)x+6a>o},D=ACB(1)求集合D(用區(qū)間表示)(2)求函數(shù)/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在£>內(nèi)的極值點。【答案】解(1)設g(x)=2兀2—3(1+0兀+6°,方程g(x)=0的判別式D=9(l+a)2?48a=9(a?-)(a?3)①當丄vav1時,D<0,2x2—3(1+q)x+6g>0恒成立,:.B=xwR2x2-3(1+a)x+6a>o}=/?。/.

11、/)=AnB=A={xlx>0},即集合D=(0,+)o②當Ova丄時,D0,方程g(x)=0的兩根為3a+3-J9/?30a+9八3a+3+』9宀3()a+9不=0,=144B=xeR2x2一3(1+a)x+6?!?3。+3-丁9/一30。+94或?!?。+

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