馬柯維茨均值-方差模型

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1、馬柯維茨均值-方差模型在豐富的金融投資理論中，組合投資理論占有非常重要的地位，金融產(chǎn)品本質(zhì)上各種金融工具的組合?，F(xiàn)代投資組合理論試圖解釋獲得最大投資收益與避免過(guò)分風(fēng)險(xiǎn)之間的基本權(quán)衡關(guān)系，也就是說(shuō)投資者將不同的投資品種按一定的比例組合在一起作為投資對(duì)象，以達(dá)到在保證預(yù)定收益率的前提下把風(fēng)險(xiǎn)降到最小或者在一定風(fēng)險(xiǎn)的前提下使收益率最大。從歷史發(fā)展看，投資者很早就認(rèn)識(shí)到了分散地將資金進(jìn)行投資可以降低投資風(fēng)險(xiǎn)，擴(kuò)大投資收益。但是第一個(gè)對(duì)此問(wèn)題做出實(shí)質(zhì)性分析的是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬柯維茨(Markowitz)以及他所創(chuàng)立的馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論。1

2、952年馬柯維茨發(fā)表了《證券組合選擇》，標(biāo)志著證券組合理論的正式誕生。馬柯維茨根據(jù)每一種證券的預(yù)期收益率、方差和所有證券間的協(xié)方差矩陣，得到證券組合的有效邊界，再根據(jù)投資者的效用無(wú)差異曲線，確定最佳投資組合。馬柯維茨的證券組合理論在計(jì)算投資組合的收益和方差時(shí)十分精確，但是在處理含有較多證券的組合時(shí)，計(jì)算量很大。馬柯維茨的后繼者致力于簡(jiǎn)化投資組合模型。在一系列的假設(shè)條件下，威廉·夏普(WilliamF.Sharp)等學(xué)者推導(dǎo)出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型，并以此簡(jiǎn)化了馬柯維茨的資產(chǎn)組合模型。由于夏普簡(jiǎn)化模型的計(jì)算量相對(duì)于馬柯維茨資產(chǎn)組合模型大

3、大減少，并且有效程度并沒(méi)有降低，所以得到了廣泛應(yīng)用。1模型理論經(jīng)典馬柯維茨均值-方差模型為：其中，；是第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率；是投資組合的權(quán)重向量；是n種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；和分別是投資組合的期望回報(bào)率和回報(bào)率的方差。點(diǎn)睛：馬柯維茨模型以預(yù)期收益率期望度量收益；以收益率方差度量風(fēng)險(xiǎn)。在教課書(shū)中通常以資產(chǎn)的歷史收益率的均值作為未來(lái)期望收益率，可能會(huì)造成“追漲的效果”，在實(shí)際中這些收益率可能是由研究員給出；在計(jì)算組合風(fēng)險(xiǎn)值時(shí)協(xié)方差對(duì)結(jié)果影響較大，在教課書(shū)中通常以資產(chǎn)的歷史收益率的協(xié)方差度量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與相關(guān)性，這種計(jì)算方法存在預(yù)期誤差，即

4、未來(lái)實(shí)際協(xié)方差矩陣與歷史協(xié)方差矩陣間的存在偏差。例1．以華北制藥、中國(guó)石化、上海機(jī)場(chǎng)三只股票，如何構(gòu)使用馬柯維茨模型構(gòu)建投資組合模型？資產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表：表2.1三只股票的日回報(bào)率、風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)及協(xié)方差矩陣收益率均值(%)收益率標(biāo)準(zhǔn)差(%)協(xié)方差矩陣（×0.0001）華北制藥0.05402.305.272.801.74中國(guó)石化0.02752.062.804.261.67上海機(jī)場(chǎng)0.02361.701.741.672.902收益與風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算函數(shù)portstats函數(shù)計(jì)算公式：其中，；是第i種資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率；是投資組合的權(quán)重向量；是n種資產(chǎn)間

5、的協(xié)方差矩陣；和分別是投資組合的期望回報(bào)率和回報(bào)率的方差。函數(shù)語(yǔ)法：[PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)輸入?yún)?shù)：ExpReturn：資產(chǎn)預(yù)期收益率ExpCovariance：資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣PortWts：資產(chǎn)權(quán)重輸出參數(shù)：PortRisk：資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)（標(biāo)準(zhǔn)差）PortReturn：資產(chǎn)組合預(yù)期收益（期望）例：在例1中，假設(shè)等權(quán)重配置華北制藥、中國(guó)石化、上海機(jī)場(chǎng)，則資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益為多少？M文件：Portstatstest.mExp

6、Return=[0.0005400.0002750.000236];ExpCovariance=0.0001*[5.272.801.74;2.804.261.67;1.741.672.90];PortWts=1/3*ones(1,3);[PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)>>PortRisk=0.016617PortReturn=3.5033e-004注釋：ones(n,m)為生產(chǎn)元素都為1的n×m矩陣,ones(1,3)=[1,1,1].

7、PortWts=1/3*[1,1,1]=[1/3,1/3,1/3]3有效前沿計(jì)算函數(shù)馬柯維茨均值-方差模型為經(jīng)典的帶約束的二次優(yōu)化問(wèn)題，在給定期望收益時(shí)，方差最小解唯一(可行解域?yàn)橥?，frontcon使用，matlab優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)進(jìn)行求解，fmincon函數(shù)說(shuō)明請(qǐng)參看附錄。frontcon函數(shù)算法：給定計(jì)算相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)最小的組合，即得到有效前沿上一點(diǎn)（有效組合），給定一系列可以有效描繪出有效前沿。組合的收益介于單個(gè)資產(chǎn)的最大收益與最小收益之間，例如示例中最大收益為0.0540%、最小收益為0.0236%，為根據(jù)Nu

8、mPorts在最大收益與最小收益間進(jìn)行等分即可。函數(shù)語(yǔ)法：[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,AssetBounds,