例談構(gòu)造法解題

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1、例談構(gòu)造法解題在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，涉及函數(shù)、不等式等內(nèi)容，在解題的過(guò)程中，通常會(huì)涉及不同的方法，下面就和大家討論一種常用的方法.所謂構(gòu)造法,就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特殊性,構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式,并借助它認(rèn)識(shí)與解決原問(wèn)題的一種思想方法.就構(gòu)造對(duì)象來(lái)看,常用的有構(gòu)造表達(dá)式、構(gòu)造幾何體(圖形)等.在構(gòu)造表達(dá)式中又有構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造二項(xiàng)展開(kāi)式等.(一).構(gòu)造不等式解題例1.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為鈍角時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.解析:由平幾知識(shí)知,要使為鈍角,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部.為此構(gòu)造以為直徑的圓面:即點(diǎn)

2、在圓面①上,又點(diǎn)在橢圓即②上.由①、②消去得即【點(diǎn)評(píng)】本題的常規(guī)解法是利用兩向量數(shù)量積小于零求橫坐標(biāo)的取值范圍.根據(jù)平幾知識(shí)巧妙構(gòu)造不等式可使問(wèn)題既快又準(zhǔn)得以解決.(二).構(gòu)造函數(shù)解題構(gòu)造一次函數(shù)求取值范圍.例2.設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)的值都成立,求的取值范圍.解析:原不等式可化為記要使原不等式成立,則即解得.【點(diǎn)評(píng)】視“未知”為“已知”，構(gòu)造關(guān)于的一次函數(shù)，由一次函數(shù)的單調(diào)性得不等式組求出的取值范圍.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題,可以通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷一次函數(shù)在上函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲得解決.構(gòu)造二次函數(shù)證不等式.例3.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足那

3、么證明:構(gòu)造函數(shù),因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù),恒有,所以,從而得所以【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù),利用其在上大于等于零恒成立時(shí)4這一性質(zhì),使不等式得證.構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解題.例4.證明不等式(n∈N*)設(shè)那么對(duì)任意k∈N*都有：∴因此，對(duì)任意n∈N*都有，∴【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造“混合”函數(shù)，利用其單調(diào)性求函數(shù)最值.使證不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.例5.已知為△的三邊長(zhǎng),求證:【分析】要想由條件直接推證求證式有一定困難,觀察三個(gè)式子的相似性,與式子有相同的形式,聯(lián)想函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明.證明:構(gòu)造函數(shù).下面判斷的單調(diào)性,任取且,則有,∵,且,則.即函數(shù)在上是增函

4、數(shù).即因?yàn)?所以即【點(diǎn)評(píng)】本題由類比推理產(chǎn)生靈感,構(gòu)造形式相近的函數(shù),通過(guò)證明函數(shù)的單調(diào)性證不等式,把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較單調(diào)函數(shù)兩函數(shù)值大小的問(wèn)題.(三)構(gòu)造方程解題4例6.（2002年全國(guó)高考（理）（17））已知,,求，的值．【解】條件式可以整理為，即．…………………………（※）將（※）式看成是關(guān)于的一元二次方程，由求根公式得．．，．，．，．．即．．從而．【點(diǎn)評(píng)】這里沒(méi)有說(shuō)讓你解方程，更沒(méi)有說(shuō)它是關(guān)于的一元二次方程，它需要你自覺(jué)視它為關(guān)于的方程.這就是能力！(四)構(gòu)造二項(xiàng)展開(kāi)式證不等式例7.證明:對(duì)于的任意正整數(shù).證明:【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)式的展開(kāi)式

5、共有項(xiàng),當(dāng)各項(xiàng)均為正數(shù)時(shí),項(xiàng)數(shù)減少,展開(kāi)式各項(xiàng)的和也隨之變小.(五)構(gòu)造數(shù)列求值例8.已知求的值.解:由已知得,即成等差數(shù)列.4設(shè)其公差為,則.又解得或，.則∴原式【點(diǎn)評(píng)】將已知條件構(gòu)造成等差數(shù)列,利用換元法,減少了變量,簡(jiǎn)化了運(yùn)算.構(gòu)思奇妙.(六)構(gòu)造圖形證不等式例9.設(shè),求證:【分析】該代數(shù)不等式的證明,雖然已知條件較簡(jiǎn)單,但不易入手,而仔細(xì)分析不等式的模式,構(gòu)造空間圖形,把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成立體幾何模型,情況就不一樣了.證明:表示以為兩邊,夾角為的三角形的第三邊;同理也具有同樣的幾何意義,于是可構(gòu)造如圖所示的四面體,使,可得.在△中,故原不等式成立

6、.【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造空間圖形,構(gòu)代數(shù)不等式化歸為立體幾何問(wèn)題,思路新穎獨(dú)特.4