初等數(shù)學(xué)中的因式分解及其教學(xué)開題報(bào)告

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1、開題報(bào)告初等數(shù)學(xué)中的因式分解及其教學(xué)一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）基于因式分解的重要性，在初等數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史上，有很多研究者在因式分解的方法這方面做出了大量的工作，但關(guān)于本課題的研究卻幾乎沒有。因式分解是初高中數(shù)學(xué)銜接內(nèi)容的重點(diǎn)知識(shí)，熟悉掌握因式分解常用方法，對(duì)其進(jìn)行總結(jié)及拓展，不僅能提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移及應(yīng)用能力，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣。二、相關(guān)研究的最新成果及動(dòng)態(tài)就因式分解的方法和應(yīng)用及其在教學(xué)過程中的問題這一課題，許多研究者和教師早已展開討論，并做了很多相關(guān)的課題研究和論文。經(jīng)閱讀大量的資料，對(duì)他們的主要成果闡述

2、如下:在文獻(xiàn)[1]-[5]中，研究者對(duì)因式分解的方法總結(jié)如下：1、提公因式法提公因式法是因式分解中最基本的方法，用這種方法進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式的公因式——各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪的積，同時(shí)要注意：公因式要提盡；小心不要漏掉“1”；首項(xiàng)取正號(hào)；公因式是多項(xiàng)式時(shí)，要留心符號(hào)問題。2、公式法運(yùn)用公式法分解因式，關(guān)鍵是觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)的次數(shù)和系數(shù)是否符合公式的特點(diǎn)，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，可考慮運(yùn)用平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮運(yùn)用完全平方公式。在運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要注意：先觀察是否有公因式可提，然后再考慮是否符合公式的形式；公式中的字母，

3、可以表示一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或者一個(gè)多項(xiàng)式。3、分組分解法一般情況下，當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)達(dá)到四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，通常用分組分解法進(jìn)行因式分解。應(yīng)用分組分解解法的關(guān)鍵是如何分組，分組的原則是：各小組能分解或有的小組能分解；組間能繼續(xù)分解，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是分組后能提公因式或運(yùn)用公式法進(jìn)行分解。4、十字相乘法十字相乘法是針對(duì)型二次三項(xiàng)式的一種因式分解法。使用該方法應(yīng)注意：分解常數(shù)項(xiàng)時(shí)，要留心所分解兩因數(shù)的符號(hào)；“十字”交叉相乘的積的和為一次項(xiàng)系數(shù)。5、換元法換元法是數(shù)學(xué)中常見的一種方法，在有些問題中，若把某個(gè)量看作另一個(gè)整體（即換元），就更方便。這種換元的方法，就是在研究和解決數(shù)學(xué)

4、問題時(shí)采取迂回的手段，即把將要解決的問題進(jìn)行變換，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題，將難的問題轉(zhuǎn)化成容易的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題，從而達(dá)到解決問題的目的。6、拆項(xiàng)與添項(xiàng)，重新整理法對(duì)于一些多項(xiàng)式，如果不能直接因式分解時(shí)，可以將其中的某項(xiàng)拆成二項(xiàng)之差或之和，再應(yīng)用分組法，公式法等進(jìn)行分解因式，其中拆項(xiàng)、添項(xiàng)方法不唯一，可有許多不同途徑，對(duì)題目一定要具體分析，選擇簡(jiǎn)捷的分解方法。7、待定系數(shù)法待定系數(shù)法是解決代數(shù)式恒等變形中的重要方法，如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架，只是字母的系數(shù)不能確定，則可先用未知數(shù)表示字母系數(shù)，然后根據(jù)多項(xiàng)式的恒等性質(zhì)列出個(gè)含有特殊確

5、定系數(shù)的方程（組），解出這個(gè)方程（組）求出待定系數(shù)。在文獻(xiàn)[6]-[9]中，研究者對(duì)因式分解的應(yīng)用總結(jié)如下：1、分式上的應(yīng)用:分式是兩個(gè)整式相除的商。它是在學(xué)生掌握了整式四則運(yùn)算、多項(xiàng)式因式分解及一元二次方程解法等知識(shí)基礎(chǔ)上引進(jìn)的。學(xué)生正確進(jìn)行分式運(yùn)算在于掌握通分和約分的方法。2、在不等式上應(yīng)用:對(duì)不等式組而言，從解的圖象能很方便幫助我們確定不等式組的解，而在中學(xué)代數(shù)中學(xué)到一元二次不等式時(shí)，就是通過分解因式，把原命題歸結(jié)為解兩個(gè)不等式組的問題來(lái)解決的。3、在方程組上應(yīng)用:在一元二次方程中因式分解是廣泛采用的。對(duì)于方程組中學(xué)代數(shù)中所研究的主要是二元、三元一次方程組和特殊

6、類型的二元二次方程組。下面主要談?wù)勔蚴椒纸庠诙畏匠探M成的方程組上的應(yīng)用。4、在三角形問題中的幾個(gè)應(yīng)用：（1）判斷三角形的形狀；（2）求三角形的邊長(zhǎng)；（3）證明不等式關(guān)系。5、根式；6、幾何問題等。孟坤[10]認(rèn)為：在新課改理念下，因式分解的考查方式已不再是純粹的分解因式，一些新穎別致的創(chuàng)新題在中考試題中頻頻出現(xiàn)。并舉例說明如下：1、開放創(chuàng)新題；2、分解求值題；3、數(shù)形結(jié)合題；4、實(shí)際應(yīng)用題；5、辨析改錯(cuò)題；6、閱讀理解題；7、規(guī)律探究題。文獻(xiàn)[11]-[12]將因式分解的常見錯(cuò)誤歸納為：1、概念混淆不清；2、提取出錯(cuò)；3、符號(hào)出錯(cuò)；4、分解不徹底；5、系數(shù)出錯(cuò)；

7、6、只做局部分解；7、公式運(yùn)算錯(cuò)誤；8、分解方法不熟悉等。楊杰[13]認(rèn)為分解因式這一章在整個(gè)教材中起到了承上啟下的作用。其教育價(jià)值還體現(xiàn)在使學(xué)生接受對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于分析、正確預(yù)見、解決問題的能力。文中還提出了對(duì)因式分解教學(xué)的建議及教學(xué)中應(yīng)注意的問題的說明。張立臣[14]認(rèn)為因式分解是初中教學(xué)的難點(diǎn)。它前與“整式乘除”后與“分式運(yùn)算”有著密切的聯(lián)系。對(duì)于學(xué)生而言，上一章的整式運(yùn)算通過法則、公式的教學(xué)，似乎是有章可循的。因式分解則不然，涉及內(nèi)容面廣、方法靈活，學(xué)生難于把握。因此在初期階段的教學(xué)當(dāng)中，必須把握好教學(xué)過程中講解的深度和