初等數(shù)學(xué)中的因式分解及其教學(xué)文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述初等數(shù)學(xué)中的因式分解及其教學(xué)一、前言部分（說(shuō)明寫(xiě)作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）因式分解是初高中數(shù)學(xué)銜接內(nèi)容的重點(diǎn)知識(shí)，熟悉掌握因式分解常用方法，對(duì)其進(jìn)行總結(jié)及拓展，不僅能提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移及應(yīng)用能力，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的興趣。本課題擬對(duì)初等數(shù)學(xué)中因式分解的思想、方法、應(yīng)用、教學(xué)等進(jìn)行系統(tǒng)的歸納分析，為學(xué)生對(duì)因式分解這一知識(shí)點(diǎn)的掌握與教師的相關(guān)教學(xué)提供一定的幫助。單墫[1]在《因式分解技巧》一書(shū)中將因式分解定義為：“把一個(gè)整式寫(xiě)成幾個(gè)整式的乘積”。他提到在初中數(shù)學(xué)中，因式分解十分重要。一方面，它承上啟下，學(xué)習(xí)它

2、，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又為下一步學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)，對(duì)等式的恒等變形、方程的求解等等也是不可缺少的；另一方面，因式分解的問(wèn)題變化萬(wàn)千，方法靈活多樣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、運(yùn)算能力和創(chuàng)造能力，因此它是初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的重要內(nèi)容。本文綜述了因式分解中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，初等數(shù)學(xué)中因式分解的方法和應(yīng)用，學(xué)生在因式分解中的常見(jiàn)錯(cuò)誤及其成因和因式分解教學(xué)中存在的問(wèn)題及其對(duì)策。二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）前人對(duì)因式分解的研究已有很多，他們認(rèn)為：因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解

3、決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。劉頓[2]在《因式分解中的數(shù)學(xué)思想》一文中認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的靈魂。在因式分解過(guò)程中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想（1、整體思想；2、類比思想；3、轉(zhuǎn)化思想；4、換元思想），如果能靈活地運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，往往能更好地解決因式分解問(wèn)題。在引入因式分解和數(shù)學(xué)思想的定義后，研究者對(duì)因式分解的方法總結(jié)如下：1、提公因式法提公因式法是因式分解中最基本的方法，用這種方法進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式的公因式——各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪的積，同時(shí)要注意：公因式要提盡；小心不要漏掉“1”；首項(xiàng)取正號(hào)；公因式是多項(xiàng)式時(shí)，要留心符號(hào)問(wèn)題。2、

4、公式法運(yùn)用公式法分解因式，關(guān)鍵是觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)的次數(shù)和系數(shù)是否符合公式的特點(diǎn)，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，可考慮運(yùn)用平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮運(yùn)用完全平方公式。在運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要注意：先觀察是否有公因式可提，然后再考慮是否符合公式的形式；公式中的字母，可以表示一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或者一個(gè)多項(xiàng)式。3、分組分解法一般情況下，當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)達(dá)到四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，通常用分組分解法進(jìn)行因式分解。應(yīng)用分組分解解法的關(guān)鍵是如何分組，分組的原則是：各小組能分解或有的小組能分解；組間能繼續(xù)分解，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是分組后能提公因式或運(yùn)用公式法進(jìn)行分解。4、十字相乘法

5、十字相乘法是針對(duì)型二次三項(xiàng)式的一種因式分解法。使用該方法應(yīng)注意：分解常數(shù)項(xiàng)時(shí)，要留心所分解兩因數(shù)的符號(hào)；“十字”交叉相乘的積的和為一次項(xiàng)系數(shù)。5、換元法換元法是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種方法，在有些問(wèn)題中，若把某個(gè)量看作另一個(gè)整體（即換元），就更方便。這種換元的方法，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采取迂回的手段，即把將要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已解決的問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。[3]6、拆項(xiàng)與添項(xiàng)，重新整理法對(duì)于一些多項(xiàng)式，如果不能直接因式分解時(shí)，可以將其中的某項(xiàng)拆成二項(xiàng)之差或之和，再應(yīng)用分組法

6、，公式法等進(jìn)行分解因式，其中拆項(xiàng)、添項(xiàng)方法不唯一，可有許多不同途徑，對(duì)題目一定要具體分析，選擇簡(jiǎn)捷的分解方法。7、待定系數(shù)法待定系數(shù)法是解決代數(shù)式恒等變形中的重要方法，如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架，只是字母的系數(shù)不能確定，則可先用未知數(shù)表示字母系數(shù)，然后根據(jù)多項(xiàng)式的恒等性質(zhì)列出個(gè)含有特殊確定系數(shù)的方程（組），解出這個(gè)方程（組）求出待定系數(shù)。[4]李良慶[5]在《試述因式分解在中學(xué)代數(shù)中的地位》一文中介紹了以下幾種應(yīng)用：1、分式上的應(yīng)用:分式是兩個(gè)整式相除的商。它是在學(xué)生掌握了整式四則運(yùn)算、多項(xiàng)式因式分解及一元二次方程解法等知識(shí)基礎(chǔ)上引進(jìn)的。學(xué)生正確進(jìn)行分

7、式運(yùn)算在于掌握通分和約分的方法。2、在不等式上應(yīng)用:對(duì)不等式組而言，從解的圖象能很方便幫助我們確定不等式組的解，而在中學(xué)代數(shù)中學(xué)到一元二次不等式時(shí)，就是通過(guò)分解因式，把原命題歸結(jié)為解兩個(gè)不等式組的問(wèn)題來(lái)解決的。3、在方程組上應(yīng)用:在一元二次方程中因式分解是廣泛采用的。對(duì)于方程組中學(xué)代數(shù)中所研究的主要是二元、三元一次方程組和特殊類型的二元二次方程組。下面主要談?wù)勔蚴椒纸庠诙畏匠探M成的方程組上的應(yīng)用。曾毓芳[6]在《論因式分解的教育——通過(guò)因式分解應(yīng)用貫穿初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)》一文中將因式分解的講解融入到其他初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)之中，以下就列舉了聯(lián)系比較緊密的8

8、個(gè)知識(shí)點(diǎn)并予以舉例分析，它們分別是：1、解方程；2、