高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用　　　　文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用　　　　一、前言部分隨著新課程改革的不斷進(jìn)行，高等數(shù)學(xué)的知識(shí)在高考所占的比重也越來越大，所以，作為高中教師，就必須認(rèn)真研究新的課程標(biāo)準(zhǔn)、新的考試大綱，認(rèn)真研究、分析高中數(shù)學(xué)中的新知識(shí)——高等數(shù)學(xué)的知識(shí)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題。高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的．與初等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學(xué)無法解答的問題高等數(shù)學(xué)都給出了解答。因此，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法，從不同的角度去研究初等數(shù)學(xué)的問題。這些問題可以是與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)，但又未能完全解決，而應(yīng)用所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決的理論、方法問題，也可以是初等數(shù)學(xué)中己經(jīng)

2、解決，而運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從另一更高的角度重新認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)中重要的概念、理論實(shí)質(zhì)及其背景，還可以借助于高等數(shù)學(xué)的方法來統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學(xué)中一些或一類問題(盡管這些問題可以用初等的方法來解決)等等?？傊瑧?yīng)用高等數(shù)學(xué)的方法使學(xué)生對(duì)初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及與高等數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有了深刻的認(rèn)識(shí)。所以本論文選題的基本內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究。主要論述的高等數(shù)學(xué)的方法有微積分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展開定理、線性方程組的方法。本論文研究了初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)的概念、范疇、關(guān)系，能使學(xué)生對(duì)此三個(gè)相關(guān)聯(lián)的概念加以區(qū)別；同時(shí)以大量、翔實(shí)的

3、中學(xué)數(shù)學(xué)的范例為依據(jù)，尤其是近幾年的高考試題，充分說明了高等數(shù)學(xué)方法在解決初等數(shù)學(xué)的相關(guān)問題上，具有明顯的作用，并且盡可能地使用現(xiàn)有中學(xué)數(shù)學(xué)教材講到的知識(shí)、方法。本論文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的先進(jìn)觀點(diǎn)地分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的問題，主要表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：一是將高等數(shù)學(xué)的思想和辦法滲透到初等數(shù)學(xué)中去；二是用具體材料來說明高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義：三是指出初等數(shù)學(xué)某些難以處理的問題的高等數(shù)學(xué)背景。二、主題部分1.初等數(shù)學(xué)[1]初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，另一個(gè)稱為深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能；深

4、層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高：反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使

5、學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在初等數(shù)學(xué)中，含有很多重要且基本的數(shù)學(xué)思想，如幾何證明思想、記算思想、極限思想、隨機(jī)思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想等。這些數(shù)學(xué)思想幾乎包括了初等數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容；而且，結(jié)合學(xué)生得到思維能力和他門的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，這幾種數(shù)學(xué)思想有可能被他們理解和掌握：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多。另外，這些思想對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)來說，也是最基本且罩重要的。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出這些數(shù)學(xué)思想是很有必要的。2.高等數(shù)學(xué)[1]作為基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)，主要是由極限論、微分學(xué)、積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論、解析幾何、微分方程等

6、六部分內(nèi)容組成一個(gè)有機(jī)的統(tǒng)一體。其中極限論是基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)活動(dòng)的“舞臺(tái)”；微分、積分是高等數(shù)學(xué)的核心，是從連續(xù)的側(cè)面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關(guān)局部性質(zhì)，積分則是從宏觀上揭示函數(shù)的有關(guān)整體性質(zhì)，牛頓的微積分基本定理，在微分和積分之間起了橋梁作用；級(jí)數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段，無窮級(jí)數(shù)是從離散的側(cè)面去揭示函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，它既是表現(xiàn)函數(shù)的工具，又是用來進(jìn)行計(jì)算的工具，廣義積分又把無窮級(jí)數(shù)與積分的內(nèi)容溝通起來了；解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性狀提供了直觀模型；微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機(jī)的聯(lián)系起來，揭示了它

7、們之間內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關(guān)系。因此，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)大致可用框圖這樣給出：微分方程積分學(xué)不定積分微分學(xué)定積分極限理論解析幾何級(jí)數(shù)理論事實(shí)上，這個(gè)框圖反映的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，僅僅是高等數(shù)學(xué)體系的一部分，是師范生必學(xué)的內(nèi)容，隨著專業(yè)的不同，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容將向不同的方向延拓，也將隨著時(shí)代的發(fā)展和數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷地注入新的數(shù)學(xué)思想、方法，如非標(biāo)準(zhǔn)分析、離散數(shù)學(xué)基本理論、模型思擔(dān)等，使得高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容更具魅力。3.高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的關(guān)系[1]盡管高等數(shù)學(xué)的高度抽象性，使它與初等數(shù)學(xué)拉大了距離，但從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，高等數(shù)學(xué)是多級(jí)抽象的結(jié)果。