中值定理的分析性質(zhì)研究 　　　文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述中值定理的分析性質(zhì)研究　　　一、前言部分微分中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，研究函數(shù)的有力工具．微分中值定理有著明顯的幾何意義和運(yùn)動(dòng)學(xué)意義．以拉格朗日(Lagrange)微分中值定理為例，它的幾何意義：一個(gè)在上連續(xù)，在內(nèi)可微的曲線段，必有，曲線在點(diǎn)的切線平行于連接點(diǎn)與的割線．它的運(yùn)動(dòng)學(xué)意義：設(shè)是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間區(qū)間上走過的路程為，在上的平均速度為，存在的某一時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度恰好是它的平均速度．人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了．它首先是法國著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1637年給出了費(fèi)馬定理，在教科書中，人們通常將它稱為費(fèi)馬定理．

2、1691年，法國數(shù)學(xué)家羅爾(Rolle)在《方程的解法》一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理．1797年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明．對微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究的是法國數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)，他首先賦以中值定理重要的作用，使其成為微分學(xué)的核心定理，并給出了廣義的中值定理—柯西定理.二、主題部分一、微分中值定理產(chǎn)生的歷史文獻(xiàn)[1]和[2]中說到了微積分學(xué)簡史，費(fèi)馬對微積分作出過重要的貢獻(xiàn)．他在研究極大和極小問題的解法時(shí)，得到統(tǒng)一的解法“虛擬等式法”，從而得出原始形式的費(fèi)馬定理．所謂的虛擬等式法，用現(xiàn)代語言來說，對于函數(shù)

3、，讓自變量從變化到，當(dāng)為極值時(shí)，和的差近似為，用除虛擬等式，，然后讓，就得到函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為，這就是費(fèi)馬定理：函數(shù)在處取極值，并且可導(dǎo)，則．應(yīng)該指出：費(fèi)馬給出以上結(jié)論，微積分還處于初創(chuàng)階段，并沒有明確導(dǎo)數(shù)，極限連續(xù)的概念，用現(xiàn)代眼光來看，其論斷也是不嚴(yán)格的．現(xiàn)在看到的費(fèi)馬定理是后人根據(jù)微積分理論和費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的實(shí)質(zhì)重新給出的．羅爾在1691年發(fā)表的論著《方程的解法》給出了“在多項(xiàng)式的兩個(gè)相鄰根中，方程至少有一個(gè)實(shí)根．”正好是定理的一個(gè)特例，這也是此定理成為羅爾定理的原因.羅爾當(dāng)時(shí)提出這個(gè)結(jié)論，主要是針對多項(xiàng)式函數(shù)，現(xiàn)在看到的羅爾定理，是后人根據(jù)微積分理論重新證明

4、，并把它推廣為一般函數(shù)．“羅爾定理”這一名稱是由德國數(shù)學(xué)家德羅比什(Drobisch)在1834年給出，并由意大利數(shù)學(xué)家貝拉維蒂斯(Bellavitis)在1846年發(fā)表的論文中正式使用的．文獻(xiàn)[1]-[5]中都涉及到了中值定理的基本概念.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指：“在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)，使．”這一定理是拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中首先給出的，它最初形式為：“函數(shù)在和之間連續(xù)，的最大值為，最小值為，則必取，之間一個(gè)值．”柯西定理被認(rèn)為是拉格朗日定理的推廣．它是指：設(shè)和在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，并且，，則至少存在一點(diǎn)，使柯西的證明與拉

5、格朗日對拉格朗日中值定理很相似．微分中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位．例如他利用微分中值定理給洛必達(dá)法則以嚴(yán)格的證明，并研究泰勒公式的余項(xiàng)．從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分．二、微分中值定理中間點(diǎn)的分析性質(zhì)2.1Lagrange中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性及其分析性質(zhì)在一元函數(shù)微分學(xué)中，拉格朗日中值定理是核心,因此對Lagrange中值點(diǎn)的研究就成了一項(xiàng)重要內(nèi)容．Lagrange中值定理只斷言的存在性．至少有一個(gè)，但可能不止一個(gè)，除了對一些比較簡單的函數(shù)，無法指明這種點(diǎn)的確切位置．文獻(xiàn)[6]中有了下面的結(jié)論：結(jié)論1.若

6、函數(shù)滿足下列條件：在上連續(xù)；在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)；，；則在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)，使得．結(jié)論2.若函數(shù)滿足下列條件：在上連續(xù)；在內(nèi)可導(dǎo)，且在的任何子區(qū)間上為非線性函數(shù)；方程在內(nèi)恰有個(gè)根；則在內(nèi)存在個(gè)點(diǎn)使得．結(jié)論3若函數(shù)滿足下列條件：在上連續(xù)；在內(nèi)可導(dǎo)；方程在內(nèi)恰有個(gè)根；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．在此給出結(jié)論1的證明：由Lagrange中值定理知，點(diǎn)是存在的．下面證明點(diǎn)的唯一性，用反證法：假設(shè)存在兩點(diǎn)，分別使由條件二知函數(shù)在區(qū)間上滿足Rolle定理，所以使得，這與題設(shè)條件3矛盾，因此，在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)，使得．此外，文獻(xiàn)[7]-[9]中還給出了中間點(diǎn)的單調(diào)性、連續(xù)及可導(dǎo)性質(zhì)：設(shè)

7、函數(shù)在上滿足Lagrange中值定理的條件，對于任意，則當(dāng)固定時(shí)．滿足式（2．1）的“中間點(diǎn)”隨而變化，并且具有下述性質(zhì)．定理1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，則（1）滿足(2．1)式的點(diǎn)是的單值函數(shù)(簡稱函數(shù))，記；（2）滿足(2．1)式的點(diǎn)是的單調(diào)增加的函數(shù)．定理2設(shè)函數(shù)在閉醫(yī)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，又設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)保號(恒正或恒負(fù))，則(1)滿足(2．1)式的點(diǎn)是的連續(xù)函數(shù)；(2)滿足(2．1)式的點(diǎn)是的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為（2．2）定理3.設(shè)函數(shù)和是上二階連續(xù)可導(dǎo)，且，在內(nèi)保號(恒正或恒負(fù))，則(1)滿足(2．2)式的

8、“中問點(diǎn)”是的單值連續(xù)函