例說高考多元最值問題的三角換元策略_張同語.pdf

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1、例說高考多元最值問題的三角換元策略■張同語曹文玉22三角換元策略是一種用三角函數(shù)代替問題中的字母(或式解:由已知可得0<x,y,z<1,且(1-z)-y=x.令1-子),然后利用三角函數(shù)之間的關(guān)系達到解題目的的一種解題π2-sinθz=xsecθ,y=xtanθ,θ∈(0,).因為-<0,所以xy2cosθ策略.該解題策略的優(yōu)點在于將已知條件通過代替轉(zhuǎn)化為同一22-sinθcosθ2個角的某個三角函數(shù)來表示,從而利于我們運用熟知的三角公+2xz=xtanθ+2x(1-xsecθ)=-(x-)+cosθ2-

2、sinθ式進行化簡,直至問題的解決.本文以部分數(shù)學(xué)高考、自主招cosθcosθcosθ2≤,令t=,則槡t+1sin(θ+φ)=2t生、高中數(shù)學(xué)競賽中的多元最值問題為例說明如下:2-sinθ2-sinθ2-sinθ例1(2012年浙江省高考題)若正數(shù)x,y滿足x+3y=(φ為輔助角).所以

3、2t

4、≤槡t2+1sin(θ+φ).于是t≤槡3,所5xy,則3x+4y的最小值是()32428(A)(B)(C)5(D)6以xy+2xz≤槡3,當且僅當2x=1-z,x=槡3,x2+y2=(1-5533解析:該題以二

5、次方程的形式給出條件,求一次式的最值,z)2,即x=槡3,y=1,z=1時等號成立.故xy+2xz的最大值試題精致小巧,入口較寬,可以從多個角度進行思考,能較好得333考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和化歸轉(zhuǎn)化能力.為槡3.313分析:只要將已知條件稍作變形得+=1,便可將陌5x5y點評:本題運用三角換元策略,思路自然,解題過程流暢,生的問題一舉轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,只需運用“三角換元”就可這種創(chuàng)新的思維流程對激發(fā)學(xué)生解題熱情大有益處.破題.例3(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)若實數(shù)x,y滿足x-4313解:由x+3y

6、=5xy,得5x+5y=1,又x>0,y>0,可令5x槡y=2槡x-y,求x的取值范圍.該題題目條件敘述簡潔,結(jié)論指向明確,解題的關(guān)鍵在于21231=cosθ,=sinθ(θ為銳角),則x=2,y=2,則3x5y5cosθ5sinθ抓住條件所蘊含的關(guān)系x=(槡y)2+(槡x-y)2,對學(xué)生分析問22+4y=9·1+4·1=9·sinθ+cosθ+4·題和綜合解決問題的能力要求較高,是一道有深度、反映數(shù)學(xué)5252525cosθsinθcosθ學(xué)科特點的好題.22sinθ+cosθ9241132=5·tanθ

7、+5·2+5≥2分析:本題含有兩個根式.直接進行代數(shù)變形比較困難,注sinθtanθ22意到x=(槡y)+(槡x-y),很自然想到利用三角換元法.924113924·tanθ×·+=5.當且僅當·tanθ=·55tan25552槡θ解:由條件得x=4槡y+2槡x-y知x≥0,又x=(槡y)+1,即sin2θ=2cos2θ,即當x=1,y=1時,3x+4y取得最2πtan2θ32(槡x-y),令槡y=槡xcosθ,槡x-y=槡xsinθ,θ∈[0,2].則條小值5.故選(C).件變?yōu)閤=4槡xcosθ+2槡

8、xsinθ.點評:本題采用的三角換元策略使得解法簡潔明快,自然(1)當x=0時,條件成立.流暢,豐富了學(xué)生的解題思路,提高了解題速度.(2)當x>0時,上式可變?yōu)闃歺=4cosθ+2sinθ=2槡5sin(θ例2(2010年北京大學(xué)自主招生題)設(shè)x,y,z為正數(shù),且22+φ)(φ為輔助角,且cosφ=槡5,sinφ=2槡5).易知當sin(θ+槡x+y+z=1,求xy+2xz的最大值.55該題以雙曲線方程為載體,考查三角換元法等解題技巧,πφ)=1時,槡x取得最大值2槡5,此時x取得最大值20,當θ=2同

9、時還考查不等式的性質(zhì),考查學(xué)生的運算求解能力以及探索精神,是一道頗具深度的好題.時,槡x取得最小值2,此時x取得最小值4.222分析:由題設(shè)條件可變形為(1-z)-y=x,聯(lián)想三角公綜上所述,x的取值范圍為{0}∪[4,20].22式secθ-tanθ=1,不妨設(shè)1-z=xsecθ,y=xtanθ,從而將多點評:本題運用三角換元策略求解,可謂匠心獨具,令人耳元函數(shù)式xy+2xz轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最大值.目一新.[安徽省五河第一中學(xué)(233399)]·20·

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