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1、32上海中學(xué)數(shù)學(xué)·2009年第4期9g"見的非線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法315192浙江省寧波華茂外國語學(xué)校馮新輝戴宏照我們經(jīng)常遇到含有分式根式或二次式等非.6—/2)(2^/2+/6+6+/2)cz√2—√6線性遞推關(guān)系.如何根據(jù)這些非線性遞推關(guān)系··“———————————————————————=■————————————————一2√3求數(shù)列的通項(xiàng)公式呢?說明:二階線性遞推式an+l+pa+qa一1—一0(n≥2,n∈N,P,q為常數(shù))對(duì)應(yīng)的特征方、轉(zhuǎn)化法程z一舡+q一0的兩根(可為虛根)為Xl,X2,1.要求通項(xiàng)公式,利用an+
2、1一S+1一S先①若1≠X2,則a一n+,n~;②若Xl求s,再求a.—X2,則a一(A+Bn)zr卜.其中的待定系數(shù)1例1.已知數(shù)列{a}滿足2S一a+,A,B由已知的n1,a2聯(lián)立解出.a(chǎn)na>0,其中s是數(shù)列{a}的前項(xiàng)和,求數(shù)列二、不動(dòng)點(diǎn)法{a)的通項(xiàng)公式.對(duì)于函數(shù)一-廠(),若存在XO∈R,使分析:本題若用S一S1一&消去S,直f(xo)一37.0成立,則稱320為函數(shù)Y一廠()的不接求a,是十分困難的,但若轉(zhuǎn)化為先求s再動(dòng)點(diǎn).求n,問題就變得很簡單.解:依題意S1一al一1,當(dāng)≥2時(shí),2S(S1.若廠(-T)一豐(AD—Bc
3、≠o)的不一S一1)一(S一S,卜1)+1S;一S;1—1動(dòng)點(diǎn)為1,X2,對(duì)于遞推數(shù)列n抖l—f(a),容數(shù)列{s;}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,即S;一S}+(一1)=:,又a>0S一√易證明:(1)z一z時(shí),數(shù)列f—l是公差da一S一S一1一一~/,z一1,一1也成立一—的等差數(shù)列;(2)l≠2時(shí),數(shù)列nZ1——L/&一~/一、二_『.2.由已知遞推式得到兩個(gè)并列的遞推式,{)是公比q一會(huì)菱_三的等比數(shù)列.先直接或變形相減,消去某些項(xiàng)(多為常數(shù)項(xiàng))轉(zhuǎn)求新數(shù)列的通項(xiàng),再求n.化為線性遞推式,再用特征方程法或換元法求例3.(2005
4、年重慶高考)數(shù)列{a)滿足al出通項(xiàng)公式,將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系是一一種通法.1且8a卅la一16口抖1+2n+5—0(≥1).記一一—l_丁(≥1)例2.已知數(shù)歹0{a},al一√2,a2—2,an+2.(1)求61、b2.63、64的&1+2什2一一——'水a(chǎn)n.a(chǎn)n值;(2)求數(shù)列{b)的通項(xiàng)公式及數(shù)列{口b)的解:依題意口3—6√2,a≠0,an+2a一n1前項(xiàng)和S.+2什.①解:(1)原遞推式變形為口外1一二2a.+5,an+1a一1一a2.+2件.②①一2×②得:a+2an~2a+1an-1一n1一對(duì)應(yīng)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為l一
5、專,X2一÷,設(shè)一115“n+lUn。一什一”一—c計(jì)1a+l+2n1a+2a”2a3+2al——,el一一一—?!猅anan-1a2一__什一~4,即a,l+14-2a一1=4.③'...③的特征方程2~4~/2+2_一0的兩根為,791,2—2√2±2n+5一專(一8d+16)&一寺1,/g,.‘.n一n+,n,又Ⅱ1一A+B一,2+5一辜(一8+16)口一2’a2一Ax1+Bx2—2,代人Xl,2求得A一B一±,,2√32√3上海中學(xué)數(shù)學(xué)·2009年第4期33新數(shù)列,先求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式,再求原數(shù)列‘的通項(xiàng)公式..一c(1)一
6、一2(專)一—a.2例5.已知數(shù)列{a},al=4,口件1—3口;,求口.%一百分析:由于等式兩邊各一項(xiàng),故可取對(duì)數(shù)降一一冪.此法也適用于其它類似高次式.z(1)一等,..一,解:依題可知,。>0,同時(shí)取對(duì)數(shù)得lgn什1·—2lga+lg3,設(shè)b一lga,則bl—lg4,6葉1—..61—2,62一要,63—4,64一20.2+lg3,.‘.6+1+lg3—2(+lg3),.。.?dāng)?shù)列{b(2)由(1)知一2n~4,得n6一++lg3}是首項(xiàng)為lg12,公比為2的等比數(shù)列,.’.b+1g3—2lgl2卿6一lg,n一.號(hào)一÷+5_1).說
7、明:本題利用題設(shè)轉(zhuǎn)化為線性遞推式例6.已知數(shù)列a),al一1,a計(jì)1一(1+6+1—2b一4再求通項(xiàng)也很簡單..4a-t-,/i-+24a),求n.解:為使遞推式有理化,設(shè)一1+24a,2.如果函數(shù)廠(z)一差{名有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)則a一(一1),1,2,且n+1一廠(口),易得—an-t-1—-.T.1一將ba一5代入原遞推式得:(61—1)一(、n),迭代即得一(—6n-1—-X1)—Z2,n一Z2\an-I—Z2,j111+42_1)],21)2一一?一(專)‘,進(jìn)而求nn.(+3),又b>0,6r『十1一÷b+÷,.。.6+1—例4.
8、已知非零向一(z一1,o)一(.y一1,1)一(0,1)滿足I一I,3一號(hào)(一3),.·.bn-3一(6一3)(),得記一廠(z),若數(shù)列{n}滿足al一4,an+1一f(a).b一(1)。+3,n一(6;