[金融工程][第9章][布萊克休爾斯莫頓期權定價模型].ppt

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1、1973年，美國芝加哥大學教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權價格，在學術界和實務界引起了強烈反響；同年，RobertC.Merton獨立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。在本章中，我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導出衍生證券定價的一般方法。第九章布萊克-休爾斯-莫頓期權定價模型我們?yōu)榱私o股票期權定價，必須先了解股票本身的走勢。

2、因為股票期權是其標的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權有效期、無風險利率和標的資產(chǎn)收益的情況下，期權價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權價格的最根本因素。因此，要研究期權的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復制期權，并以此為依據(jù)給期權定價。在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學的語言來描述這種定價的思想。29.1布萊克-休爾斯-莫頓期權定價模型基本思路9.1.1布朗運動布朗運動（BrownianMotion）起源于英國植物學家布郎對水杯中的

3、花粉粒子的運動軌跡的描述。標準布朗運動兩大特征：特征1(正態(tài)分布)特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。(獨立增量）3維納過程的性質(zhì)[z(T)–z(0)]也是正態(tài)分布均值等于0方差等于T標準差等于方差可加性為何使用布朗運動？4正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)復利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學上可以證明，具備特征1和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機過程維納過程在數(shù)學上對時間處處不可導和二次變分（QuadraticVariation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時間上存在轉(zhuǎn)折尖點等性質(zhì)也

4、是相符的市場有效理論與隨機過程1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說根據(jù)眾多學者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次59.2.1布朗運動標準布朗運動的擴展：普通布郎

5、運動，令漂移率為a，方差率為b2，：or:x(t)=x0+at+bz(t)遵循普通布朗運動的變量x是關于時間和dz的動態(tài)過程：adt為確定項，意味著x的漂移率是每單位時間為a；bdz是隨機項，代表著對x的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機波動，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。6普通布朗運動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為1、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。2、標準布朗運動為普通布朗運動的特

6、例。伊藤過程與伊藤引理9.3普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到這就是伊藤過程（ItoProcess）。其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。7在伊藤過程的基礎上，數(shù)學家伊藤（K.Ito）進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：其中，dz是一個標準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。泰勒展開式8忽略比Dt高階的項在常微分中，我們得到在隨機微分中我們得到：因為最

7、后一項的階數(shù)為Dt將Dx代入9e2Dt取極限10伊藤引理的運用如果我們知道x遵循的隨機過程，通過伊藤引理可以推導出G(x,t)遵循的隨機過程。由于衍生產(chǎn)品價格是標的資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)，因此隨機過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。股票價格的變化過程：幾何布朗運動9.2.4一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過程（即幾何布朗運動）來表示：之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個：一是可以避免股票價格為負從而與有限責任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復利收

8、益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。11**隨機微積分與非隨機微積分的差別伊藤過程與伊藤引理11.3案例11.1運用伊藤引理推導lnS所遵循的隨機過程假設變量S服從其中μ和σ都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機過程？由于μ和σ是常數(shù)，S顯然服從，的伊藤過程，我們可以運用伊藤引理推導lnS所遵循的隨機過程。令，則代入式我們就可得到所遵循的隨機過程為由于dlnS是股票的連續(xù)復利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù)復利收益率服從期望值，方差