電磁場與電磁波第三章 靜態(tài)電磁場.ppt

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1、第三章靜態(tài)電磁場靜電場、穩(wěn)恒電場和穩(wěn)恒磁場都不隨時間變化，統(tǒng)稱為靜態(tài)場。靜態(tài)情況下，有麥克斯韋方程簡化為可見，電場與磁場是相互獨立的，故可分別討論。本章從麥克斯韋方程出發(fā)，分別介紹關(guān)于靜電場、穩(wěn)恒電場和穩(wěn)恒磁場的處理方法。3.1靜電場的電位3.1.1靜電場的電位靜電場的場方程為由于靜電場無旋，故可將其寫為這里標(biāo)量函數(shù)?稱為電位或電勢。根據(jù)梯度的性質(zhì)，可知E垂直于等位面，并指向電位降落的方向。設(shè)L為連接a、b兩點的任意路徑，則有可見，靜電場中任意兩點之間的電位差可由沿連接這兩點的任意路徑的積分得到。處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體，其內(nèi)部電場E=0。由E=-??知，靜電平衡的導(dǎo)體中??=0，故導(dǎo)體是等

2、位體。以上定義的是電位的梯度和電位差。只有規(guī)定了電位的零點，電場中每一點的電位才具有確定的值。電位的零點可以任意選取，因為電位加上一個任意常數(shù)并不影響其梯度或電位差的值。3.1.2電荷體系引起的電位為方便，對無界空間中電荷分布在有限區(qū)域的情形，通常取無窮遠(yuǎn)處為電位零點。這樣，電荷體系在空間任一場點P引起的電位即為例：無限大真空中某點r′處有一點電荷q，其在場點r處引起的電場為于是得電位分布：其中R=r-r′。根據(jù)場的疊加原理，分布在體積V中的電荷在場點r處引起的電位為曲面S上的面電荷分布引起的電位為注意，以上電位計算公式都是以無限遠(yuǎn)為零點，而電荷則分布在有限區(qū)域中。若電荷分布涉及無限遠(yuǎn)，則

3、按上述公式計算將會導(dǎo)致積分發(fā)散。這種情形下，可取任一有限遠(yuǎn)點為電位零點?！纠?】如圖所示，半徑為a、面電荷密度為?S的均勻帶電圓盤位于xy平面上。求圓盤軸線上的電位。解：由圖可知，，r′處的面元為代入得【例2】求偶極矩為p=ezql的電偶極子引起的電場分布。解：電偶極子由兩個相距很近（l<

4、平面產(chǎn)生的電場為在z>0區(qū)間，該結(jié)果不確定?，F(xiàn)改取任意點z0為電位零點，就可得到確定的電位值：【例4】求真空中無限長均勻帶電直線周圍的電位分布，設(shè)帶電線的線電荷密度為?l。解：以帶電直線為軸線建立圓柱坐標(biāo)系。取距離軸線有限遠(yuǎn)?=?0處為電位的零點。該帶電直線引起的電場為于是距帶電線為處的電位為3.1.3電位滿足的微分方程僅考慮各向同性介質(zhì)。將E=-??代入D=?E，兩邊取散度，再利用?·D=?，可得整理得此即各向同性介質(zhì)中電位滿足的方程。對均勻介質(zhì)，??=0，上式成為若所論區(qū)域中處處?=0，則在該區(qū)域中，?滿足拉普拉斯方程：由上可見，?的微分方程包含了靜電場的基本方程和本構(gòu)關(guān)系：因此，對靜

5、電場而言，電位的微分方程與場方程等價。在無界空間中，方程的解為證：將此積分式代入上面方程，有利用得因為故積分域可縮小為以點r為中心的小球體V′。當(dāng)半徑足夠小時，積分成為再利用即證得3.1.4電位滿足的邊界條件?的微分方程只適用于連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部。在兩種介質(zhì)的交界面兩側(cè)，?應(yīng)滿足由電場的邊界條件所規(guī)定的相應(yīng)邊界條件。1．關(guān)于?的邊界條件如圖，對1、2兩點，這里已取，。因E的大小有限，故上式給出。由此知，在界面兩側(cè)緊靠界面處，有可見電位在界面處連續(xù)。上式與邊界條件E1t=E2t等價。這是因為，E1t=E2t產(chǎn)生于和“E的大小有限”這兩個條件，前者在定義電位時已經(jīng)用到，在導(dǎo)出?1=?2時又用到了后一

6、條件。故?1=?2與E1t=E2t反映的是相同的物理內(nèi)容。2．關(guān)于?的法向?qū)?shù)的邊界條件將D=?E=-???代入en·(D1-D2)=?S，可得此即電位的法向?qū)?shù)應(yīng)滿足的邊界條件。處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是等位體，電荷只分布在導(dǎo)體表面上，故電位在導(dǎo)體表面上滿足的邊界條件應(yīng)為3.2靜電場的能量3.2.1靜電場能量與電荷和電位的關(guān)系靜電場可以用電位來描述，所以其能量也可以用電位來計算。利用E=-??及?·D=?S，可得整個空間V中的靜電場能量：利用?·D=?S和散度定理，上式寫為這里S面位于無窮遠(yuǎn)處。對于電荷分布在有限區(qū)域的情形，在S面上，?～1/R，D～1/R2，S～R2，故有由此即得對于面電

7、荷分布，上式應(yīng)改為對若干導(dǎo)體構(gòu)成的帶電體系而言，注意到電荷只分布在表面上，且導(dǎo)體表面是等位面，則可由上式得到體系的靜電能：若保持各?i和qi不變，令各導(dǎo)體的體積趨向于無限小，則各導(dǎo)體成為點電荷，上式就成為點電荷系的靜電能公式?！纠?】導(dǎo)出電容器的儲能公式。解：設(shè)電容器兩極板的電位分別為?+和?-，帶電量分別為q+和q-，則有此即電容器的儲能公式。利用C=q/U，上式又可寫為【例2】設(shè)導(dǎo)體球半徑為R，帶電量為q，球外為介電