電磁場與電磁波-靜態(tài)場邊值問題.ppt

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1、第四章靜態(tài)場邊值問題的解法邊值問題的分類唯一性定理直角坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法鏡像法有限差分法主要內(nèi)容4.1邊值問題的分類第一類邊值問題：已知位函數(shù)在全部邊界面上的分布值邊值問題是指存在邊界面的電磁問題。根據(jù)給定邊界條件對邊值問題分類：狄里赫利問題（Dirichlet）第二類邊值問題：已知位函數(shù)在全部邊界面上的法向?qū)?shù)值第三類邊值問題：已知一部分邊界面上的位函數(shù)值,和另一部分邊界面上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值．諾埃曼問題（Neumann）混合邊值問題邊值問題框圖一、二類邊界條件的線

2、性組合，即已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)已知場域邊界上各點電位值第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件邊值問題參考點電位有限值場域邊界條件分界面銜接條件自然邊界條件微分方程邊界條件解析法數(shù)值法實測法模擬法定性定量邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法邊值問題研究方法框圖唯一性定理：在場域V的邊界面S上給定位函數(shù)或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內(nèi)的解唯一。唯一性定理的意義指出了靜態(tài)場邊值問題具有唯

3、一解的條件；為靜態(tài)場邊值問題求解方法提供了理論根據(jù)，為結(jié)果正確性提供了判據(jù)；唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理論根據(jù)。4.2唯一性定理（UniqunessTheorem）4.3直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離變量法是數(shù)理方程中應(yīng)用最廣泛的一種方法，它適用于求解具有理想邊界條件的典型邊值問題。分離變量法是通過偏微分方程求解邊值問題。其基本思想是：首先要求給定邊界面與坐標(biāo)面相合，或分段相合；其次要求待求偏微分方程的解可表示為若干個函數(shù)的乘積，其中的每個函數(shù)分別僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)。這樣，通過分離變量可將一

4、個偏微分方程轉(zhuǎn)化為多個常微分方程來求解。分離變量法解題的一般步驟：根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程；解常微分方程，并疊加各特解得到通解；利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得函數(shù)的解。在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為：直角坐標(biāo)系中的分離變量法設(shè)可以表示為三個函數(shù)的乘積，即：當(dāng)時代入上式，得其中為分離常數(shù)，且※分析與討論上式中每項都只是一個變量的函數(shù)，其成立的唯一條件是三項中每項都是一個常數(shù)，故有當(dāng)時通解：當(dāng)時令其中為

5、實數(shù)通解：或者同理可以求得和利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得函數(shù)的解。雙曲函數(shù)例4.3-1橫截面如圖所示的導(dǎo)體長槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為a×b，槽體的電位為零，蓋板的電位為U(x)，求此區(qū)域內(nèi)的電位。在區(qū)域0

6、分離變量法當(dāng)時因為所以故：當(dāng)時討論兩種情況和分離變量法當(dāng)左右兩邊同乘以，并在區(qū)間(0，a)積分又有因此m=1,3,5,…分離變量法對應(yīng)系數(shù)相等當(dāng)因此分離變量法分離變量法的求解步驟選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,確定變量的個數(shù)；寫出方程的通解；利用自然邊界條件化簡通解；利用電磁邊界條件建立待定系數(shù)的方程并解方程,求出待定系數(shù)。4.4圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)中的拉普拉斯方程（）為僅討論二維平面場，即與坐標(biāo)變量無關(guān)的情況令，代入上式得化簡得令第二項等于（）※分析與討論當(dāng)時當(dāng)時1討論分離變量法由于是周期性函數(shù)，即所以，且為正整數(shù)

7、，即。當(dāng)時當(dāng)時2討論歐拉方程令代入上式，整理得：通解例4.4-1一根半徑為a、介電常數(shù)為的無限長介質(zhì)圓柱體置于均勻外電場中，且與相垂直。設(shè)外電場方向為x軸方向，圓柱軸與z軸重合（如圖所示），求圓柱內(nèi)、外的電位函數(shù)。解：選擇圓柱坐標(biāo)系。設(shè)園柱內(nèi)、外的電位分別為、，并假設(shè)零電位點在坐標(biāo)原點。顯然、均是與z無關(guān)的二維場，都滿足拉氏方程：分離變量法則，圓柱坐標(biāo)系中二維場的通解為：令由題意知，場分布對稱于x軸，即：故通解中只能包含余弦項即：當(dāng)時，其中：當(dāng)時，應(yīng)為有限值，即中不能有項。當(dāng)時，由介質(zhì)分界面條件知。切向：法向：聯(lián)立

8、方程（1）、（2）解得：介質(zhì)圓柱體內(nèi)、外的電場強(qiáng)度為：邊界條件：1例4.4-1將半徑為的無限長導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場中，柱軸與垂直，求任意點的電位。2解：12分離變量法分離變量法4.5球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程（）為僅討論場問題與坐標(biāo)無關(guān)時的情形令，代入上式并整理得令兩項分別等于常數(shù)和引入一個新的自變量則有－－勒讓德方程當(dāng)時，勒讓德方