平面彎曲梁的剛度與強(qiáng)度計(jì)算.pdf

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1、第8章平面彎曲梁的強(qiáng)度與剛度計(jì)算§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力§8.2常用截面二次矩平行移軸公式§8.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§8.4彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介§8.5梁的彎曲變形概述§8.6用疊加法求梁的變形小結(jié)8.1§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.1純彎曲試驗(yàn)一矩形等截面簡(jiǎn)支梁AB，其上作用兩個(gè)對(duì)稱的集中力F?！罴虞d前，在CD段表面畫(huà)些平行于梁軸線的縱向線和垂直于梁軸線的橫向線?！罴虞d后，由剪力圖和彎距圖可知AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上同時(shí)有剪力和彎矩，這種彎曲稱為橫彎曲（或稱剪切彎曲）。☆在中間段CD段內(nèi)的各橫截面上，只有彎矩，沒(méi)有剪力，這種彎曲稱為純彎曲。8.2§8

2、.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力☆縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。凸邊的縱向線伸長(zhǎng)，凹邊的縱向線縮短?！顧M向線仍為直線，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)微小角度，并與縱向線垂直。☆梁的高度不變，而梁的寬度在伸長(zhǎng)區(qū)內(nèi)，有所減少，在壓縮區(qū)內(nèi)，有所增大。8.3§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力根據(jù)上述現(xiàn)象，可對(duì)梁的變形提出如下假設(shè)：☆平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持為平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著截面上某一軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度?！顔蜗蚴芰僭O(shè)：梁是由無(wú)數(shù)條縱向纖維組成，各纖維之間互不擠壓（即梁的縱向截面上無(wú)正應(yīng)力作用），處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)?！罱Y(jié)論：由以上假設(shè)可知，因梁變形后的橫截面仍與縱向

3、線垂直，所以切應(yīng)變?yōu)榱悖瑱M截面上無(wú)切應(yīng)力，而只有正應(yīng)力。梁純彎曲變形時(shí)，其內(nèi)凹一側(cè)的纖維層縮短；外凸一側(cè)的纖維層伸長(zhǎng)。二者交界處必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這一纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層是梁內(nèi)受拉區(qū)與受壓區(qū)的分界面、是橫截面上拉應(yīng)力與壓應(yīng)力的分界線。中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力等于零，梁變形時(shí)各橫截面均繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。8.48.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力分布選取相距為dx的兩相鄰橫截面m-m和n-n。11設(shè)中性層OO曲率半徑為?，相12對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)后形成的夾角為d?。O1O2?dx??d?距中性層處的線應(yīng)變?yōu)?'

4、ab?OO(??yd)??dx12???OOdx12(??yd)???d?y??（8.1）?d??8.5§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力分布當(dāng)正應(yīng)力沒(méi)有超過(guò)材料的屈服?時(shí)，極限py??E??E(8.2)?8.6§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.3梁的正應(yīng)力計(jì)算取一微面積dA，作用于dA上的微內(nèi)力為?dA。由于純彎曲時(shí)，橫截面上的內(nèi)力分量只有彎矩M而無(wú)軸力F，故N橫截面上所有微內(nèi)力在x軸上投影的代數(shù)和應(yīng)等于零。故有FN??A?dA?0M??Ay?dAEESzE2EIzFN??AydA??0MzA??yAd??M????ES?ydA稱為截

5、面對(duì)中性軸z的截面一次矩。因?yàn)?0z?A?所以Sz??AydA?08.7§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力2Iz??AydA又稱慣性矩。1M?（8.3）?EIzEIz稱為梁截面的抗彎剛度。整理可得純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式：M?zy?（8.4）IzM?zy?maxmaxIzIz3令Wz?,Wz稱為橫截面對(duì)中性軸z的彎曲截面系數(shù)，單位為zm。ymaxM?max?（8.5）Wz8.8§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.1常用截面二次矩1．矩形截面設(shè)矩形截面的高為h，寬為b，過(guò)形心O作y軸和z軸。取寬為b高為dy的狹長(zhǎng)條為微面積dA?bdy，32h2/2bhIz??

6、AydA??ybdy?（8.6a）?h2/1232Ibh/12bhW?z??（8.6b）zyh2/6max2hbWz?（8.6c）63hbI?（8.6d）z128.9§8.2常用截面二次矩平行移軸公式2.圓形截面與圓環(huán)形截面設(shè)圓形截面的直徑為d，y軸和z軸過(guò)形心O。取微面積dA，其坐標(biāo)為y和z。42πd222IP??A?dA?IP??A?dA??A(y?zd)A3222?ydA?zdA?I?I?A?Ayz43I?πdπdIy?Iz??（8.7a）Wy?Wz?（8.7b）26432對(duì)圓環(huán)形截面3πD4πD44W?W?1(??)Iy?Iz?1(??)（8.8a

7、）yz32（8.8b）64d??D8.10§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.2組合截面二次矩平行移軸公式組合截面對(duì)軸的截面二次矩等于各組成部分對(duì)軸的截面二次矩的代數(shù)和。nIZ??Izi(8.9)i?1平行移軸公式2I?I?aA(8.10)ziz圖形對(duì)任意軸的截面二次軸矩，等于圖形對(duì)于與該軸平行的形心軸的截面二次軸矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由此可知，對(duì)所有平行軸的截面二次矩中，以通過(guò)形心軸的截面二次矩為最小。此公式的應(yīng)用條件為（1）兩對(duì)軸必須互相平行。（2）其中x、y軸必須是過(guò)形心的軸。8.11§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.

8、2.2組合截面二次矩平行移軸公式例8.1一Ｔ形截面，求其對(duì)中性軸的