量子力學導論Chap6-1.ppt

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1、第六章中心力場內容提要1、中心力場的一般性質角動量守恒與徑向方程徑向波函數的漸近行為兩體問題向單體的轉化2、球方勢阱無限深球方勢阱有限深球方勢阱3、氫原子能量本征方程、本征值和本征波函數能級簡并度徑向位置幾率分布幾率分布與角度的關系電流分布與磁矩4、類氫原子5、三維各向同性諧振子球坐標下的本征方程及解和性質直角坐標系下本征方程及解自然界中中心力場是個廣泛的問題;中心力場中運動的粒子保持角動量守恒,無論是經典力學還是量子力學都是如此。現看經典力學情形:§6.1中心力場的一般性質1、角動量守恒與徑向方程離心“勢能”體系波函數:

2、代入體系本征方程,分離變量后得徑向波函數R(r)方程:或令Rl(r)=?(r)/r,代入徑向波函數方程,化簡后得討論:所有中心力場中粒子的定態(tài)波函數僅差別在于徑向波函數Rl(r)或?(r),二者由V(r)的性質決定,與角度有關波函數就是球諧函數Ylm;徑向方程中不出現磁量子數m,能量本征值E與m無關,有簡并。m的取值有2l+1個,所以中心力場中粒子的能級簡并度一般為2l+1個;l=0時,離心勢能消失,上式與一維粒子的能量本征方程在形式上相似,但V(r)中的r>0.給定邊界條件就可求解徑向方程,得出能量本征值。非束縛態(tài),E連

3、續(xù)變化;束縛定態(tài),E取分立的能量本征值。由于束縛態(tài)邊界條件,將出現新的徑向量子數nr,nr=0,1,2,…,代表徑向波函數的節(jié)點數(節(jié)點不包括0和+?)。由于哈密頓量中有徑向動能項和離心勢能項,可見,E既依賴與nr又依賴與l,記為按照光譜學的習慣,將l=0,1,2,3,4,5,6,…分別標記為s,p,d,f,g,h,i,…2、徑向波函數的漸近行為因此,在求解徑向方程時,3、兩體問題向單體的轉化實際的中心力場問題常常是兩體問題。(1)基本考慮I、一個具有折合(約化)質量的粒子在場中的運動;II、二粒子作為一個整體的質心運動。

4、(2)數學處理質心坐標相對坐標m1+r1r2rRm2oyzx分量表達式:令R=(X,Y,Z),r=(x,y,z)又因為轉到質心和相對坐標系中其中?=m1m2/(m1+m2),約化質量;M=m1+m2,二體的總質量。最終相對坐標和質心坐標下的薛定諤方程為:由于沒有交叉項,波函數可采用分離變量表示為:將該式帶入上式,兩邊同時除以?(r)?(R),即可得到關于質心運動波函數和相對運動波函數所滿足的定態(tài)薛定諤方程。其中,E=ET-EC,EC表示質心運動能量。只與R有關只與r有關相對運動能量討論:對氫原子,感興趣的是描述其內部狀態(tài)的

5、第一個方程,它描述一個約化質量為?的粒子在勢能為V(r)的力場中的運動。這是一個電子相對于核運動的波函數?(r)所滿足的方程,相對運動能量E就是電子的能級。第二式是質心運動方程,描述能量為EC=(ET-E)的自由粒子的定態(tài)薛定諤方程,說明質心以能量(ET-E)作自由運動。1、無限深球方勢阱只有束縛態(tài)(1)s態(tài)(l=0)徑向方程§6.2球方勢阱a邊界條件:?0(0)=0,?0(a)=0勢阱內方程滿足邊界條件的解為(2)非s態(tài)(l?0)徑向方程邊界條件:Rl(a)=0。作無量綱變換,令?=kr,其中(E>0)。上式變?yōu)榍蜇惾麪?/p>

6、(Bessel)方程通解有兩個:但根據邊界條件r?0,??0,Rl(?)?0。所以,在球方勢阱中的解只能為球貝塞爾函數再由邊界條件Rl(a)=0來確定能量本征值,即由于a取有限值,k只能一系列的取分立值。記jl(x)=0的根為則本征函數及其正交歸一性2、有限深球方勢阱既有束縛態(tài)(E<0),也有擴展態(tài)(E>0)。徑向方程現只考慮束縛態(tài),即E<0的情形。令V(r)r0-V00aE則勢阱內外徑向方程可改寫為球內區(qū)域(ra)解:其中,hl(x)為虛宗量漢克(Hankel)函數再根據波函數及其一階導數在r=a

7、處連續(xù)的條件,可定出能量本征值E。以l=0為例,由此可定出能量本征值的方程為超越函數,圖解法可解出分立的能量本征值。與半壁無限高勢壘相似。還可以證明至少有一條束縛能級的條件是

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