第04章 - 隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt

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1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第二節(jié)隨機(jī)變量的方差第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第四節(jié)矩與協(xié)方差矩陣習(xí)題第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.例如：1.評(píng)定某工廠生產(chǎn)的一批燈泡的質(zhì)量，一般是評(píng)定燈泡的壽命，壽命是隨機(jī)變量，通常只需知這批燈泡的平均壽命以及相對(duì)于這個(gè)平均壽命的偏離程度就夠了。22.鋼廠生產(chǎn)的一批鋼錠，它的含碳量和其硬

2、度有密切的關(guān)系，因此，除了掌握含碳量和平均硬度，還有必要了解含碳量與硬度之間的聯(lián)系，特別希望知道彼此有無線性關(guān)系。3由此可見在隨機(jī)變量的研究中，常常需要去研究某些與隨機(jī)變量有關(guān)的，能反映隨機(jī)變量重要特征的“數(shù)”，我們把這種“數(shù)”稱作隨機(jī)變量的數(shù)字特征。4最常用的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)矩4.1數(shù)學(xué)期望一、一維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望是最基本的數(shù)字特征，數(shù)學(xué)期望是能夠體現(xiàn)隨機(jī)變量取值的平均數(shù)。讓我們先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：5例:在一次測(cè)驗(yàn)中，10名學(xué)生有2人得70分，5人得80分，3人得90分，那么他們的平均成績(jī)?yōu)?1分，具體計(jì)算方法為：換個(gè)角度，若將10

3、個(gè)學(xué)生中任一個(gè)人的測(cè)驗(yàn)成績(jī)看成隨機(jī)變量X，則X的概率分布為6上面平均分算式的右端正好是X的各個(gè)可能取值與相應(yīng)概率乘積之和，所以由所確定的數(shù)字特征恰好是隨機(jī)變量的平均值。7考慮到X隨機(jī)變量會(huì)有無窮多個(gè)可能值，同時(shí)這些可正可負(fù)，而平均值應(yīng)當(dāng)與求和的次序無關(guān)，反映在數(shù)學(xué)上便是要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。8定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記作9二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0

4、積近似為由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v該離散型r.v的數(shù)學(xué)期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。記為E(X)即10對(duì)于連續(xù)情形，以密度函數(shù)f(x)代替并相應(yīng)地以積分代替求和，于是我們有如下定義：(1)X是隨機(jī)變量，而期望E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它由概率分布唯一確定；(2)E(X)是隨機(jī)變量X所取可能值與其選取該可能值的概率的乘積的總和；因此E(X)可以看作是一種

5、“加權(quán)平均值”(3)要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變；(4)并非所有隨機(jī)變量的期望都存在。11注：一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：我們來看一個(gè)引例.例某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況(假定小張每天至多出三件廢品)若統(tǒng)計(jì)100天的結(jié)果是：32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一

6、件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天的結(jié)果是：n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.以頻率為權(quán)的加權(quán)平均當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請(qǐng)注意:離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的

7、和。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)即的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,例10120.10.20.70120.60.30.1解：例2（泊松分布的期望）到站時(shí)刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.例3按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：X1030507090例4某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式,記使用壽命為X(以年計(jì)),規(guī)定:X?1,一臺(tái)付