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1、§2?2隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)五、隨機(jī)變量的方差六、隨機(jī)變量的矩與切比雪夫不等式(略)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例觀察一名射手20次射擊的成績?nèi)缦?當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)加大時?頻率fi的穩(wěn)定值就是概率pi?相應(yīng)地?平均評價射手的射擊水平的“平均中靶環(huán)數(shù)”為一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X?xi}?pi?i?1?2?????則當(dāng)定義2?6(數(shù)學(xué)期望)例2?9設(shè)盒中有5個球?其中2個白球?3個黑球?從中隨意抽取
2、3個球?記X為抽取到的白球數(shù)?求EX?X的可能取值為0?1?2?而且根據(jù)古典概型計(jì)算?有解于是離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?解練習(xí)1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布律為pkX?2?1012求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望?提示二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)只在有限區(qū)間[a?b]上取不為零的值?把區(qū)間[a?b]進(jìn)行分割?a?x0?x1?????xn?1?b?將X近似地看成是取值為x0?x1?????xn的離散型隨機(jī)變量?此時分析當(dāng)分點(diǎn)越來越密時?近似會越來越好?令各小區(qū)間長度趨于0?則有二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期
3、望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)只在有限區(qū)間[a?b]上取不為零的值?把區(qū)間[a?b]進(jìn)行分割?a?x0?x1?????xn?1?b?將X近似地看成是取值為x0?x1?????xn的離散型隨機(jī)變量?此時分析二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2?7(數(shù)學(xué)期望)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量?f(x)為其密度函數(shù)?如果例2?10設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求EX?解連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?例2?11設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求EX?解顯然EX存在?且連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望?三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2?1例2?12設(shè)X的概率分布如下表
4、?求E(X?EX)2?根據(jù)例2?9?EX?1?2?于是根據(jù)定理2?1(1)有解?0?36?例2?13設(shè)X的密度函數(shù)為求E
5、X?EX
6、?根據(jù)例2?11?EX?1?于是由定理2?1(2)有解解練習(xí)2設(shè)圓的直徑X在區(qū)間[a?b]上均勻分布?求圓面積四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1對任意常數(shù)a?有Ea?a?性質(zhì)2設(shè)a1?a2為任意實(shí)數(shù)?g1(x)?g2(x)為任意實(shí)函數(shù)?如果Eg1(X)?Eg2(X)均存在?則E[a1g1(X)?a2g2(X)]?a1Eg1(X)?a2Eg2(X)?(2?23)例2?14設(shè)EX?EX2均存在?證明E(X?EX
7、)2?EX2?(EX)2?(2?25)?EX2?(EX)2??EX2?2EX?EX?(EX)2?E[X2?2X?EX?(EX)2]E(X?EX)2因?yàn)?X?EX)2?X2?2X?EX?(EX)2?證明于是由(2?23)得性質(zhì)3如果EX存在?則對任意實(shí)數(shù)a?有E(X?a)?EX?a?(2?24)說明五、隨機(jī)變量的方差定義2?8(方差)設(shè)X為一個隨機(jī)變量?其數(shù)學(xué)期望EX存在?如果E(X?EX)2也存在?則稱E(X?EX)2為隨機(jī)變量X的方差?記作D(X)或DX?X?EX稱為X的離差?一個隨機(jī)變量的方差?粗略地講?反映隨機(jī)變量偏離數(shù)
8、學(xué)期望的平均偏離程度?五、隨機(jī)變量的方差定義2?8(方差)設(shè)X為一個隨機(jī)變量?其數(shù)學(xué)期望EX存在?如果E(X?EX)2也存在?則稱E(X?EX)2為隨機(jī)變量X的方差?記作D(X)或DX?(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X?xi}?pi?i?1?2?????方差的計(jì)算(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)?則(3)計(jì)算方差的常用公式為方差的性質(zhì)設(shè)X的方差DX存在?a為任意常數(shù)?則(1)Da?0?(2?29)(2)D(X?a)?DX?(2?30)(3)D(aX)?a2DX?(2?31)例2?15設(shè)X的概率分布如下表?
9、已知EX?1?2?求DX?DX?EX2?(EX)2解?1?8?(1?2)2?0?36?例2?16設(shè)X的密度函數(shù)為已知EX?1?求DX?解因?yàn)镋X?1?且從而例2?17X為一隨機(jī)變量?方差存在?令l(C)?E(X?C)2?(2?32)證明?當(dāng)且僅當(dāng)C?EX時?l(C)達(dá)到最小值?此時最小值為DX?顯然?當(dāng)且僅當(dāng)C?EX時?最后一個不等式的等號成立?故l(C)在C?EX時達(dá)到最小值?且最小值為DX?證明l(C)?E(X?C)2?E[(X?EX)?(EX?C)]2?E[(X?EX)2?2(X?EX)(EX?C)?(EX?C)2]?E
10、(X?EX)2?(EX?C)2?E(X?EX)2?DX?
