隨機變量的數(shù)字特征ppt課件.ppt

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1、第四章隨機變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望2§4.1數(shù)學(xué)期望布萊士·帕斯卡兩個賭徒甲、乙向他提出了一個問題：甲乙兩個人賭博，兩人獲勝的機率相等，約定誰先贏滿5局，誰就獲得100法郎。甲贏了4局，乙贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應(yīng)該怎么分？甲的期望所得值就是0×0.25+100×0.75=75乙的期望所得值就是0×0.75+100×0.25=25一、數(shù)學(xué)期望的由來設(shè)X為甲獲得的法郎，Y為乙獲得的法郎3§4.1數(shù)學(xué)期望二、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P(X

2、=xk)=pk,k=1,2,…若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即4§4.1數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的算術(shù)平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.5§4.1數(shù)學(xué)期望例1：設(shè)有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器時，從這10

3、個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解：X的分布律為：6§4.1數(shù)學(xué)期望例2：某車站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為一旅客8:20到車站，求他候車時間的數(shù)學(xué)期望。8:108:308:50到站時刻9:109:309:50概率7§4.1數(shù)學(xué)期望例3：8§4.1數(shù)學(xué)期望三、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望9§4.1數(shù)學(xué)期望例4：10例5：設(shè)X的概率密度為求解：§4.1數(shù)學(xué)期望11§4.1數(shù)

4、學(xué)期望幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望12§4.1數(shù)學(xué)期望四、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若Y=g(X),且則有13§4.1數(shù)學(xué)期望例6設(shè)X-2020.40.30.3P則E(X)=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+5=13.4（思考）14§4.1數(shù)學(xué)期望2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X是連續(xù)型r.v,其密度為f(x),則g(X)的期望為15例7：§4.1數(shù)學(xué)期望16§4.1數(shù)學(xué)

5、期望1.設(shè)C是常數(shù),則有證明2.設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明例如五、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)17§4.1數(shù)學(xué)期望4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有一般地，E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)18數(shù)學(xué)期望是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)§4.1數(shù)學(xué)期望六、小結(jié)19§4.2方差20§4.2方差現(xiàn)有兩批燈泡，第一批燈泡壽命為:一半約950小時,另一半約1050小時,平均壽命為1

6、000小時;第二批燈泡壽命為一半約1300小時,另一半約700小時,平均壽命為1000小時。問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？(質(zhì)量更穩(wěn)定)單從平均壽命這一指標(biāo)無法判斷，進一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。21§4.2方差一、方差的定義1、方差是一個特殊的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的期望；2、方差用來度量隨機變量與其數(shù)學(xué)期望（即均值）的偏離程度。22§4.2方差離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差二、方差的計算(1)利用定義計算23§4.2方差證明(2)利用公式計算24§4.2方差證明三、

7、方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明25§4.2方差(3)設(shè)X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則證明注：相互獨立時，乘積的期望等于期望的乘積。26§4.2方差綜上：設(shè)X,Y相互獨立,E(X),E(Y),D(X),D(Y)存在,a,b,c是常數(shù),則注意：對任意的隨機變量X、Y都有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)27例1：設(shè)隨機變量X具有0-1分布，其分布律為：解：§4.2方差28§4.2方差例2：解：29§4.2方差解例3：30§4.2方差解例4：于是3

8、1§4.2方差解例5：32§4.2方差33分　　布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布§4.2方差34§4.2方差35§4.2方差契比雪夫不等式36§4.2方差四、小結(jié)1.方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散程度的量.2.方差的計算公式37