第4章-隨機(jī)變量的數(shù)字特征ppt課件.ppt

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1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣§1數(shù)學(xué)期望設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572一、數(shù)學(xué)期望的定義EX則學(xué)生的平均成績是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即定義若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征例擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。解：定義若X~f(x),-?

2、+0×(1-p)=p；2、二項分布B(n,p)二、幾個重要的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3、泊松分布π(λ)4、均勻分布U(a,b)5、指數(shù)分布e(?)6、正態(tài)分布N(?,?2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:Y的分布律為求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望。XPk-101YPk10三、隨機(jī)變量函數(shù)的期望EX定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,則Y=g(X)的期望定理若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,則Z=g(X，Y)的期望若X~f(x),-?

3、Y)的期望例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度求數(shù)學(xué)期望。例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。解:1、E(C)=C,C為常數(shù);四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2、E(cX)=cE(X),c為常數(shù)；3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；證明:以連續(xù)型隨機(jī)變量為例，設(shè)(X,Y)~f(x,y)，則4、若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y).證明:同樣，以連續(xù)型隨機(jī)變量為例，設(shè)(X,Y)~f(x,y)，則例設(shè)隨機(jī)變量均服從求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解:分布，例若X~B(n,p),求E(X)解:設(shè)則因此設(shè)某種疾病的發(fā)病率為p，在N個人中普查這種疾病,為此要化驗每個人的血。方法是，

4、每k個人一組，把從k個人抽來的血混在一起化驗，如果混合血樣呈陰性，則通過，如果混合血樣呈陽性，則再分別化驗該組每個人的血樣。假設(shè)每個人的化驗反應(yīng)相互獨(dú)立。(1)試說明：當(dāng)p較小時，相比一個個地驗血，選取適當(dāng)?shù)膋可以減少化驗次數(shù)；(2)求k的最佳值。五、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用EX1、在醫(yī)療化驗方面某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量。他們估計出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致元n的損失。再者,他們預(yù)測銷售量Y（件）服從參數(shù)為θ>0的指數(shù)分布，其概率密度為：問若要獲得利潤的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品（m,n,θ均已知）？EX2、市場策略方面方差是衡量

5、隨機(jī)變量取值波動程度的一個數(shù)字特征。？如何定義？一、方差的定義§2方差定義若E(X),E(X2)存在，則稱E[X-E(X)]2,為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X),或Var(X)。稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差?？梢娡普揇(X)=E(X2)-[E(X)]2證明:D(X)=E[X-E(X)]2例設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(1)求D(X),(2)求D(X2)。解：1、D(C)=0；2、D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；證明:二、方差的性質(zhì)3、特別地，若X，Y獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);1、二項分布B(n,p)三、幾個重要的隨機(jī)變量的方差設(shè)則且2、泊松分布π(?)而兩

6、邊對?求導(dǎo)得3、均勻分布U(a,b)4、指數(shù)分布e(?)5、正態(tài)分布N(?,?2)例設(shè)活塞的直徑X~N(22.40,0.032),氣缸直徑Y(jié)~N(22.50,0.042),X與Y相互獨(dú)立。任取一只活塞和一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率。例已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E(Y2)。四、切比雪夫不等式定理若隨機(jī)變量X的期望和方差存在，則對任意??0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價超過1+a元或低于1-a元

7、的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式它有等價形式一、協(xié)方差定義若隨機(jī)變量X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱Cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差。特別地，當(dāng)Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)易見Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)。設(shè)(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2?1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨(dú)立的。(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov