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1、第四節(jié)非線形回歸模型一、可線性化模型在非線性回歸模型中，有一些模型經過適當的變量變換或函數變換就可以轉化成線性回歸模型，從而將非線性回歸模型的參數估計問題轉化成線性回歸模型的參數估計，稱這類模型為可線性化模型。在計量經濟分析中經常使用的可線性化模型有對數線性模型、半對數線性模型、倒數線性模型、多項式線性模型、成長曲線模型等。1．倒數模型我們把形如:；（3.4.1）的模型稱為倒數(又稱為雙曲線函數)模型。設：，，即進行變量的倒數變換，就可以將其轉化成線性回歸模型。倒數變換模型有一個明顯的特征：隨著x的無限擴大
2、，y將趨于極限值(或)，即有一個漸進下限或上限。有些經濟現象(如平均固定成本曲線、商品的成長曲線、恩格爾曲線、菲利普斯曲線等)恰好有類似的變動規(guī)律，因此可以由倒數變換模型進行描述。2．對數模型模型形式：（3.4.2）(該模型是將兩邊取對數，做恒等變換的另一種形式，其中)。上式lny對參數和是線性的，而且變量的對數形式也是線性的。因此，我們將以上模型稱為雙對數(double-log)模型或稱為對數一線性(log-liner)模型。令：代入模型將其轉化為線性回歸模型：（3.4.3）變換后的模型不僅參數是線性的，
3、而且通過變換后的變量間也是線性的。模型特點：斜率度量了y關于x的彈性：最新范本,供參考?。?.4.4）它表示x變動1%，y變動了多少，即變動了%。模型適用對象：對觀測值取對數，將取對數后的觀測值（lnx，lny）描成散點圖，如果近似為一條直線，則適合于對數線性模型來描述x與y的變量關系。容易推廣到模型中存在多個解釋變量的情形。例如，柯布——道格拉斯生產函數形式：式中：Q——產出量，K——資本投入量，L——勞動投入量，A，為未知參數。對于這樣的非線性模型，可以通過對數變換，使之線性化。對上式兩邊取對數得到如下
4、模型：再令：，，得到線性模型：模型中的、分別為勞動、資本的產出彈性：；3．半對數模型在對經濟變量的變動規(guī)律研究中，測定其增長率或衰減率是一個重要方面。在回歸分析中，我們可以用半對數模型來測度這些增長率。模型形式：(對數--線性模型)（3.4.5）(線性--對數模型)（3.4.6）模型特點：半對數模型中的回歸系數也有很直觀的含義：對數--線性模型中，（3.4.7）表示x每變動1%時，y將變動的絕對量，即變動b%個單位。線性——對數模型中，最新范本,供參考?。?.4.8）它表示x每變動1個單位時，y將變動的百分
5、比，即變動100b％。特別地，若x為時間變量（年份），則系數衡量了y的年均增長速度。正因為如此，所以半對數模型又稱為增長模型。模型適用范圍：當x變動一個相對量時，y以一個固定的絕對量隨之變動，可用（3.4.7）式來描述；當x變動一個絕對量時，y以一個固定的相對量隨之變動，適宜用（3.4.8）式來描述。例如，我們可以通過估計下面的半對數模型：得到我國GDP的年增長率的估計值，這里t為時間趨勢變量。4．多項式模型多項式回歸模型在生產與成本函數這個領域中被廣泛地使用。多項式回歸模型可表示為（3.4.9）設：，則（
6、3.4.10）模型轉化成多元線性回歸模型例：為了分析某行業(yè)的生產成本情況，從該行業(yè)中選取了10家企業(yè)，下表中列出了這些企業(yè)總產量y(噸)和總成本x(萬元)的有關資料，試建立該行業(yè)的總成本函數和邊際成本函數。某行業(yè)產量與總成本統(tǒng)計資料總成本y總產量x19.31022.62024.03024.44025.75026.06027.470最新范本,供參考！29.78035.09042.0100根據邊際成本的U型曲線理論，總成本函數可以用產量的三次多項式近似表示，即設：，則將其轉化為三元線性回歸模型。在EViews軟
7、件的命令窗口，依次鍵入：GENRX1=XGENRGENRLSYCX1X2X3回歸結果如下：回歸結果得到總成本函數的估計式為s=(0.637532)(0.047786)(0.000986)(0.00000591)t=(22.23678)(13.28372)(-13.15005)(15.89677)對總成本函數求導數，得到邊際成本函數的估計式為最新范本,供參考！因此，當產量低于0.025934／(20.000272)=47.673(噸)時，邊際成本是遞減的；而產量超過這個水平時，邊際成本又呈上升趨勢。二、非線性
8、化模型的處理方法無論通過什么變換都不可能實現線性化，這樣的模型稱為非線性化模型。對于非線性化模型，一般采用高斯——牛頓迭代法進行估計，即將其展開成泰勒級數之后，再利用迭代估計方法進行估計。三、回歸模型的比較當經濟變量之間呈現非線性關系時，如何選擇一個比較合適的模型，比較模型的優(yōu)劣？這就是回歸模型的比較問題。1．圖形觀察分析(1)觀察被解釋變量和解釋變量的趨勢圖。(2)觀察被解釋變量與解釋變量的相關圖。2．模型估計
