巧用化歸思想解題舉例.doc

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1、巧用化歸思想解題舉例數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括,是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的種本質(zhì)認(rèn)識(shí),數(shù)學(xué)方法是實(shí)施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的一種方式、途徑、手段,數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力.抓住數(shù)學(xué)思想方法,善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法,更是提高解題能力根本之所在.因此,在復(fù)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識(shí).所謂化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易.如將分式方程化為整式方程,將代數(shù)問題化為幾何問題,將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題等.實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有:待定系數(shù)法、配方法、整體代人法以及化動(dòng)為靜、由抽象到具體等.【例1】

2、如圖,反比例函數(shù)y=-與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求△AOB的面積.解:⑴解方程組得所以A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,4)B(4,-2(2)因?yàn)橹本€y=-x+2與y軸交點(diǎn)D坐標(biāo)是(0,2),所以所以點(diǎn)撥:兩個(gè)函數(shù)的圖象相交,說明交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),既適合于第一個(gè)函數(shù),又適合于第二個(gè)函數(shù),所以根據(jù)題意可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題,從而求出交點(diǎn)坐標(biāo).【例2】解方程:解:令y=x—1,則2y2—5y+2=0.所以y1=2或y2=,即x—1=2或x—1=.所以x=3或x=故原方程的解為x=3或x=點(diǎn)撥:很顯然,此為解關(guān)于x-

3、1的一元二次方程.如果把方程展開化簡后再求解會(huì)非常麻煩,所以可根據(jù)方程的特點(diǎn),含未·知項(xiàng)的都是含有(x—1)所以可將設(shè)為y,這樣原方程就可以利用換元法轉(zhuǎn)化為含有y的一元二次方程,問題就簡單化了.【例3】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD相交于O點(diǎn),且AC⊥BD,AD=3,BC=5,求AC的長.解:過D作DE⊥AC交BC的延長線于E,則得AD=CE、AC=DE.所以BE=BC+CE=8.因?yàn)锳C⊥BD,所以BD⊥DE.因?yàn)锳B=CD,所以AC=BD.所以GD=DE.在Rt△BDE中,BD2+DE2=BE2所以BD=BE=4,即AC=4.點(diǎn)撥:此題是

4、根據(jù)梯形對角線互相垂直的特點(diǎn)通過平移對角線將等腰梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形和平行四邊形,使問題得以解決.【例4】已知△ABC的三邊為a,b,c,且,試判斷△ABC的形狀.解:因?yàn)?,所以,即:所以a=b,a=c,b=c所以△ABC為等邊三角形.點(diǎn)撥:此題將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,利用湊完全平方式解決問題.【例5】△ABC中,BC=,AC=,AB=c.若,如圖l,根據(jù)勾股定理,則。若△ABC不是直角三角形,如圖2和圖3,請你類比勾股定理,試猜想與c2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.圖1圖2圖3證明:過B作BDAC,交AC的延長線于D。設(shè)CD為,則有根據(jù)勾股定理,得.即?!?,∴,∴。點(diǎn)撥:勾股

5、定理是我們非常熟悉的幾何知識(shí),對于直角三角形三邊具有:的關(guān)系,那么銳角三角形、鈍角三角形的三邊又是怎樣的關(guān)系呢?我們可以通過作高這條輔助線,將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來確定三邊的關(guān)系.

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