化歸和轉(zhuǎn)化數(shù)學思想解題舉例

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1、化歸和轉(zhuǎn)化數(shù)學思想解題舉例摘要:化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在解決問題時,采用某種手段使之轉(zhuǎn)化,進而使問題得到解決的一種解題策略,是數(shù)學學科中一個特有的數(shù)學思想方法?;瘹w與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題。事實上,解題的過程就是一個縮小已知與求解差異的過程,是求解系統(tǒng)趨近于目標系統(tǒng)的過程,是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程。因此,每解一道題,無論是難題還是易題,都離不開化歸。本文結(jié)合典型例題介紹了常用的一些轉(zhuǎn)化方法以及化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:化歸;轉(zhuǎn)化;原則;中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A文章編號:1992-7711(2013)19-0106首先,我們來了解一下化歸與轉(zhuǎn)化常遵循的幾

2、個原則:1.熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決;2.簡單化原則:將復雜的問題化歸為簡單問題,通過對簡單問題的解決,達到解決復雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據(jù);3.和諧化原則:化歸問題的條件或結(jié)論,使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式,或者轉(zhuǎn)化命題,使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律;4.直觀化原則:將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決;5.正難則反原則:當問題正面討論遇到困難時,可考慮問題的反面,設(shè)法從問題的反面去探求,使問題獲解。我們只有很好地熟悉這些原則,才能更加熟悉地運用化歸和轉(zhuǎn)

3、化的思想。一、正與反的轉(zhuǎn)化有些數(shù)學問題,如果直接從正面入手求解難度較大,致使思想受阻,我們可以從反面著手去解決。如函數(shù)與反函數(shù)的有關(guān)問題,對立事件的概率、間接法求解排列組合問題、舉不勝舉。例1.某射手射擊1次擊中目標的概率是0.9他連續(xù)射擊4次且他各次射擊是否擊中目標是相互獨立的,則他至少擊中目標1次的概率為。分析:至少擊中目標一次的情況包括1次、2次、3次、4次擊中目標共四種情況,可轉(zhuǎn)化為其對立事件:一次都未中,來求解。略解:他四次射擊未中1次的概率Pl=C40.14=0.14???他至少射擊擊中目標1次的概率為1-P1=1-O.14=0.9999例2.求常數(shù)m的范圍,使曲線y

4、=x2的所有弦都不能被直線y=m(x-3)垂直平分。分析:直接求解較為困難,事實上,問題可以轉(zhuǎn)化為:在曲線y=x2存在關(guān)于直線y=m(x~3)對稱的兩點,求m的范圍。五、陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化把一個復雜的、陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題來解決,這是數(shù)學解題的一條重要原則。例1.某廠2001年生產(chǎn)利潤逐月增加,且每月增加的利潤相同,但由于廠方正在改造建設(shè),元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等,隨著投入資金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同,問全年總利潤m與全年總投入N的大小關(guān)系是()A.m>NB.m0,每月的投資額組成一個等比數(shù)

5、列{bn},且公比q>loal=bl,且al2=bl2,比較S12與T12的大小。若直接求和,很難比較出其大小,但注意到等差數(shù)列的通項公式an=al+(nT)d是關(guān)于n的一次函數(shù),其圖象是一條直線上的一些點列。等比數(shù)列的通項公式bn=alqn-l是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點列。在同一坐標系中畫出圖象,直觀地可以看出aiNbi,則S12>T12,即m>N。點評:把一個原本是求和的問題,退化到各項的逐一比較大小,而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個學生所熟悉的。在對問題的化歸過程中進一步挖掘了問題的內(nèi)涵,通過對問題的反思、再加工后,使問題直觀、形象,使解答更清新。例2

6、.兩條異面直線稱為“一對”,則在正方體八個頂點間的所有連線中,成異面直線的共有多少對?分析:如果以其中一條棱進行分類的話,很難搞清“重”和“漏”O(jiān)然而我們對以下兩題很熟悉:①以正方體的八個頂點為頂點的三棱錐有多少個?②如果兩條異面直線稱為“一對”的話,任一三棱錐中有多少對異面直線?故可把本題分解成兩個熟悉的問題,即考慮一種對應(yīng)。由于①的答案是C4-12二58(個);②的答案是3對,故本題答案為58X3=174(對)。點評:直接尋找異面直線的對數(shù)很繁且易漏,而引入三棱錐通過計算三棱錐個數(shù),使得三棱錐的個數(shù)與異面直線的對數(shù)建立了一個對應(yīng),從而使問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題。歸納小結(jié):我

7、們學習了化歸與轉(zhuǎn)化思想,正與反的轉(zhuǎn)化從集合的角度來看就是“補集”的思想一般與特殊的轉(zhuǎn)化只限選擇題,填空題中使用,在大題中可有管種方法來探究解題的突破口,尋求解題的方法。數(shù)學分支間的轉(zhuǎn)化是數(shù)學分支間內(nèi)在聯(lián)系的具體體現(xiàn)。將陌生變?yōu)槭煜?,是解每一道題的一般過程。作者簡介:王春芳,中學一級教師,1997年畢業(yè)于天津師范大學。從事教學以來,多次擔任班主任工作、教研組長等職,先后多次在河南教育學院發(fā)表多篇論文。(作者單位:河南省盧氏縣第一級中學472200)

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