巧用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題.pdf

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1、巧用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題廣西上思縣上思中學(xué)王春雷關(guān)鍵詞:化歸與轉(zhuǎn)化,等價(jià)轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)與方程內(nèi)容摘要:化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想,解題的過(guò)程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想,運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是提高思維能力的有效保證。常用的化歸與轉(zhuǎn)化方法有等價(jià)變換、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)與方程的思想、換元法、反證法、特殊值法等。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括,它蘊(yùn)涵于知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程,是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。而數(shù)學(xué)科的考試,是按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重考查能力”的原則,測(cè)試中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想

2、和方法,考查思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。所以,歷年高考均十分重視考查數(shù)學(xué)思想方法,把對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查融合在對(duì)“三基”的檢測(cè)和能力的考核之中。化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問(wèn)題,通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換,化歸為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想?;瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想,解題的過(guò)程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是,如:未知向已知的轉(zhuǎn)化,命題之間的轉(zhuǎn)化,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,空間向平面的轉(zhuǎn)化,高維向低維的轉(zhuǎn)化,多元向一元的轉(zhuǎn)化,高次向低次的轉(zhuǎn)化等,都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。應(yīng)用化

3、歸與轉(zhuǎn)化的思想,運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活地解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題,是提高思維能力的有效保證,那么,我們應(yīng)該如何在平時(shí)解題過(guò)程中注意培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí),以進(jìn)一步提高解題能力呢?下面結(jié)合例題談一談如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。一、利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中,存在許許多多具有等價(jià)性的問(wèn)題,“恒等變形”是解題的最基本的方法,如解方程和不等式的過(guò)程本身就是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。x例1、(2003年全國(guó)高考)已知c?0。設(shè)P:函數(shù)y?c在R上單調(diào)遞減。Q:不等式x?

4、x?2c

5、?1的解集為R。如果P和Q有且僅有一個(gè)正確,求c的取值范圍。分析:“P和Q有且僅有一個(gè)正確”等價(jià)于“P正確且Q不正確”

6、或“P不正確且Q正確”,所以應(yīng)先求出P和Q分別正確時(shí)的解集,再用集合間的關(guān)系來(lái)運(yùn)算。x解:?P:函數(shù)y?c在R上單調(diào)遞減?0?c?1Q:不等式x?

7、x?2c

8、?1的解集為R?函數(shù)y?f(x)?x?

9、x?2c

10、在R上恒大于1。?2x?2c,(x?2c)?x?

11、x?2c

12、???2c,(x?2c)?函數(shù)y?f(x)?x?

13、x?2c

14、在R上的最小值為2c。1?不等式x?

15、x?2c

16、?1的解集為R?2c?1?c?。21?如果P正確且Q不正確,則0?c?2如果P不正確且Q正確,則c?11所以c的取值范圍為(0,]?[1,??)。2二、利用反證法的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化如果一個(gè)命題從正面解決不好入手

17、或比較麻煩,可以從命題的反面入手來(lái)解決。如:證明命題的唯一性、無(wú)理性,或所給的命題以否定形式出現(xiàn)(如:不存在、不相交等),并伴有“至少”“不都”“都不”“沒(méi)有”等指示性詞語(yǔ)時(shí),均可考慮用反證法的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。反證法是數(shù)學(xué)解題中逆向思維的直接體現(xiàn)。2222例2、已知下列三個(gè)方程:x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0,x?2ax?2a?0中,至少有一個(gè)方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析:此題若采用正面討論,則必須分成“有且只有一個(gè)方程有實(shí)根”,“有兩個(gè)方程有實(shí)根”和“三個(gè)方程全部有實(shí)根”三種不同情況來(lái)討論,求解過(guò)程將會(huì)非常復(fù)雜。所以,應(yīng)采用補(bǔ)集和反證法的思想來(lái)求。

18、2?16a?4(3?4a)?0?22解:若方程沒(méi)有一個(gè)有實(shí)根,則有?(a?1)?4a?0?24a?8a?0?3解之得:??a??123?滿足三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的a的解集是{a

19、a??1,或a??}。2三、用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合的思想就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想,其實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來(lái),從而降低原命題的難度,使問(wèn)題容易得到解決。22y例3、如果實(shí)數(shù)x,y滿足(x?2)?y?3,那么的最大值是()x133A.B.C.D.323222分析:由于方程(x?2)?y?3表示的曲線以A(2,0)為圓心,以3為半徑的圓(如

20、yy右圖所示),滿足方程的x,y是圓上的點(diǎn)P(x,y);而是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)與圓上各點(diǎn)xP連線的斜率,所以題目可轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)(0,0)與圓上各點(diǎn)連線的斜率的最大值。結(jié)合OAx22圖像,易知直線y?kx與圓(x?2)?y?3相切的時(shí)候,直線OP的斜率k就是所求斜率的最大值。?解:?

21、AP

22、?3,

23、OP

24、?2??POA?3?tan?POA?3y即所求的最大值是3,故選D。x四、利用函數(shù)與方程的思想來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化函數(shù)與方程的思想是求數(shù)量關(guān)系的主要思想方法。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,如能建立描述其數(shù)量特征的函數(shù)表

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