化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想解題舉例.doc

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1、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想解題舉例化歸與轉(zhuǎn)化的思想確是指在解決問題時,采用某種手段使之轉(zhuǎn)化,進而使問題得到解決的一種解題策略,是數(shù)學學科與其它學科相比,一個特有的數(shù)學思想方法,化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題。事實上,解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程,是求解系統(tǒng)趨近于目標系統(tǒng)的過程,是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程,因此每解一道題,無論是難題還是易題,都離不開化歸。下面介紹一些常用的轉(zhuǎn)化方法,及化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的應用。化歸與轉(zhuǎn)化常遵循以下幾個原則(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來

2、解決。(2)簡單化原則:將復雜的問題化歸為簡單問題,通過對簡單問題的解決,達到解決復雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。(3)和諧化原則:化歸問題的條件或結(jié)論,使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式,或者轉(zhuǎn)化命題,使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。(4)直觀化原則:將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決。(5)正難則反原則:當問題正面討論遇到困難時,可考慮問題的反面,設(shè)法從問題的反面去探求,使問題獲解。運用化歸與轉(zhuǎn)化思想尋求解題思路時,常用如下幾種策略一、正與反的轉(zhuǎn)化:有些數(shù)學問題,如果直接從

3、正面入手求解難度較大,致使思想受阻,我們可以從反面著手去解決。如函數(shù)與反函數(shù)的有關(guān)問題,對立事件的概率、間接法求解排列組合問題、舉不勝舉。例1:某射手射擊1次擊中目標的概率是0.9他連續(xù)射擊4次且他各次射擊是否擊中目標是相互獨立的,則他至少擊中目標1次的概率為。分析:至少擊中目標一次的情況包括1次、2次、3次、4次擊中目標共四種情況,可轉(zhuǎn)化為其對立事件:一次都未中,來求解略解:他四次射擊未中1次的概率P1=0.14=0.14∴他至少射擊擊中目標1次的概率為1-P1=1-0.14=0.9999例2:求常數(shù)m的范圍,使曲線y=x2的所有弦

4、都不能被直線y=m(x-3)垂直平分.分析:直接求解較為困難,事實上,問題可以轉(zhuǎn)化為:在曲線y=x2存在關(guān)于直線y=m(x-3)對稱的兩點,求m的范圍。略解:拋物線y=x2上存在兩點(x1,x)和(x2,x)關(guān)于直線y=m(x-3)對稱,則即消去x2得∴存在∵上述方程有解∴△=>0∴<0,從而m<因此,原問題的解為{m

5、m≥}二、一般與特殊的轉(zhuǎn)化當面臨的數(shù)學問題由一般情況難以解決,可以從特殊情況來解決,反之亦然,這種方法在選擇題,填空題中非常適用。例1:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1、Sn、Sn+2成等差數(shù)列

6、,則q=___________.分析:由于該題為填空題,我們不防用特殊情況來求q的值.如:成等差,求q的值.這樣就避免了一般性的復雜運算.略解:∵∴(a1≠0)∴q=-2或q=0(舍去)例2:已知平面上的直線l的方向向量,點(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別為,若則λ為()A.B.-C.2D.-2分析:直線l的斜率一定,但直線是變化的,又從選項來看,必為定值??梢娭本€l的變化不會影響的值。因此我們可取l為來求解的值。略解:設(shè)l:則可得∴即,=-2例3:設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V,P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點

7、,且PA=QC,則四棱錐B—PAQC的體積為:A.VB.VC.VD.V分析:P、Q運動四棱錐B—PAQC是變化的,但從選項來看其體積是不變的,所以可以轉(zhuǎn)化為特殊情況來解決略解:取P與A重合,Q與C重合的特殊情況三、主與次的轉(zhuǎn)化利用主元與參變量的關(guān)系,視參變量為主元(即變量與主元的角色換位)常??梢院喕瘑栴}的解決,先看下面兩題。例1:(2006年四川卷文21題)已知函數(shù)其中是的的導函數(shù)。(Ⅰ)對滿足的一切的值,都有求實數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)(略)分析:在不等式中出現(xiàn)了兩個字母:及,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量,另一個作為常數(shù)。顯然可

8、將視作自變量,則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。解:(Ⅰ)由題意令對,恒有,即∴即解得故時,對滿足的一切的值,都有≤0對上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.例2、對任何函數(shù)的值總大于0,則實數(shù)x的取值范圍是:_______分析:對于例2:我們也可以轉(zhuǎn)化為例1的形式只需視為關(guān)于a的函數(shù),問題就可以轉(zhuǎn)化為例1的情況:略解:令為關(guān)于a的一次函數(shù),由圖像知或x<1或x>3例3:設(shè)的實數(shù),則的取值范圍是:___________分析:把看作是關(guān)于的二次方程,則利用△≥0求解的范圍。略解:把看作是關(guān)于的二次方程,因為的實數(shù),所以方

9、程有解。∴△=≥0∴{x

10、x≤-2或x≥3}四、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形相結(jié)合??梢允乖S多概念和關(guān)系直觀而形象,有利于解題途徑的探求。o-2xy2例1:設(shè)對于任意實數(shù),函數(shù)總有意義,求實數(shù)

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