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1、第一章導數(shù)及其應用復習小結(jié)(二)近幾年該知識點的考查情況:高考命題預測主要題型(1)2001年高考第8題關于極值問題,第19題第(2)問證明函數(shù)的單調(diào)性;2002年高考第20題考查導數(shù)的幾何意義;2003年高考的第7題與第19題,分別考查導數(shù)幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性。對導數(shù)的考查客觀題為一個,與導數(shù)的知識有關的解答題也為一個。1、以填空、選擇考查導數(shù)的概念,求函數(shù)的導數(shù),求函數(shù)的極、最值。2、與導數(shù)的幾何意義相結(jié)合的函數(shù)綜合問題,利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,多為中檔題。3、利用導數(shù)求實際問題中的最值問題,為中檔偏難題知識結(jié)構(gòu)Ⅰ、導數(shù)的概念Ⅱ、幾種常見函
2、數(shù)的導數(shù)公式Ⅲ、求導法則Ⅳ、復合函數(shù)求導Ⅴ、導數(shù)的幾何意義Ⅵ、導數(shù)的應用1.判斷函數(shù)的單調(diào)性2.求函數(shù)的極值3.求函數(shù)的最值例2:用公式法求下列導數(shù):(1)y=(3)y=ln(x+sinx)(2)y=(4)y=解(1)y′=(2)(3)(4)例3、已知f(x)=2x2+3xf?(1),則f?(0)=解:由已知得:f?(x)=4x+3f?(1),∴f?(1)=4+3f?(1),∴f?(1)=-2∴f?(0)=4×0+3f?(1)=3×(-2)=-6例4(2001文)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在點x=1處有極小值-1,試確定a、b的值,并求出f(x)的單調(diào)
3、區(qū)間。分析:f(x)在x=1處有極小值-1,意味著f(1)=-1且f`(1)=0,故取點可求a、b的值,然后根據(jù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法,求出單調(diào)區(qū)間。略解:單增區(qū)間為(-∞,-1/3)和(1,+∞)單間區(qū)間為(-1/3,1)練習鞏固:設函數(shù)y=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示,且與y=0在原點相切,若函數(shù)的極值為-4(1)、求a、b、c的值(2)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案(1)a=-3,b=0,c=0(2)單增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞)解:由已知,函數(shù)f(x)過原點(0,0),∴f(0)=c=0∵f?(x)=3x2+2ax+b且函數(shù)f(x)與y=0在原點相切,∴
4、f?(0)=b=0即f(x)=x3+ax2由f?(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a由已知即解得a=-3例1若函數(shù)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù),試求實數(shù)a的取值范圍.解:函數(shù)的導數(shù)令,解得依題意應有當所以解得故a的取值范圍是[5,7].例2已知在R上是減函數(shù),求a的取值范圍.解:函數(shù)f(x)的導數(shù):(Ⅰ)當()時,f(x)是減函數(shù).∴當a<-3時,由f′(x)<0,知f(x)在R上是減函數(shù);(II)當時,=由函數(shù)在R上的單調(diào)性,可知當時,)是減函數(shù);(Ⅲ)當時,在R上存在一個區(qū)間,其上有所以,當時,函數(shù)不是減函數(shù).
5、綜上,所求a的取值范圍是(例3如圖,已知曲線C1:y=x3(x≥0)與曲線C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于O,A,直線x=t(0
6、是極小值;(2)過點A(0,16)作曲線y=f(x)的切線,求此切線方程。解:依題意,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函數(shù),f(x)在(-1,1)上是減函數(shù)。所以,f(-1)=2是極大值;f(1)=-2是極小值。(2)曲線方程為y=x3-3x,點A(0,16)不在曲線上.設切點為,則點M的坐標滿足因故切線的方程為注意到點A(0,16)在切線上,有所以,切點為,切線方程為解f?(x)=12x3-48x2+60x–24令f?(x)=0,得駐點x=1,x=2,它們?yōu)閒(x)可能的極值點,算出這些點及區(qū)間端點處的函數(shù)值:=12(x-1)2(x-2),f(0)=4
7、,f(1)=-3,f(2)=-4,f(3)=13,將它們加以比較可知在區(qū)間[0,3]上f(x)的最大值為f(3)=13,最小值為f(2)=-4.例5試求函數(shù)f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值.例6解:例7已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;(Ⅱ)設0