導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件.ppt

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1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本章概覽導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是微積分的核心概念之一．它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題的最一般、最有效的工具，因而也是解決諸如運(yùn)動(dòng)速度、增長(zhǎng)率以及用料最省、利潤(rùn)最大等實(shí)際問題的最有力的工具．定積分也是微積分的核心概念之一，自然科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問題，如一般平面圖形的面積、變力做功等都可以歸結(jié)為定積分的問題．本章中，利用豐富的背景和大量實(shí)例，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和定積分的基本概念與思想方法；通過導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最值)，解決了生活中的最優(yōu)化問題等實(shí)踐活動(dòng)，并通過應(yīng)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問題，初步感受導(dǎo)數(shù)和定積分在解決數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題中的作用；

2、通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系．本章的重點(diǎn)有三個(gè)：一是利用導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式、運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)；二是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極大(小)值和最大(小)值；三是利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際應(yīng)用問題．本章的難點(diǎn)有兩個(gè)：一是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解、導(dǎo)數(shù)方法的應(yīng)用；二是對(duì)定積分的定義、思想方法的認(rèn)識(shí).1.1.1～1.1.2　變化率問題　導(dǎo)數(shù)的概念1.通過實(shí)例，領(lǐng)悟由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)的過程．2.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)．3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，并能運(yùn)用.1.平均變化率3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)自我校對(duì)：1.

3、函數(shù)y＝f(x)的自變量x由x0改變到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)值的改變量Δy為(　　)A．f(x0＋Δx)　　　　B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：分別寫出x＝x0和x＝x0＋Δx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x0)和f(x0＋Δx)，兩式相減，就得到了函數(shù)值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故應(yīng)選D.答案：D2．若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝8＋t2運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是(　　)A．4B．4.1C．0.41D．－1.1答案：B3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為(　　)答案：A答案：3－Δx5．求函數(shù)y＝x2在點(diǎn)x＝1處的導(dǎo)數(shù)．(1)函數(shù)f(x)

4、在x1，x2處有定義；(2)x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可負(fù)；(3)注意變量的對(duì)應(yīng)，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；(4)平均變化率可正可負(fù)，也可為零．2．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；3．對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在這點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，含著兩層含義：(3)若設(shè)x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)題中的平均變化率的幾何意義．[解]f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx

5、)－5－(2×x＋3×x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(2)當(dāng)x1＝4，Δx＝0.1時(shí)，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，[點(diǎn)撥]求函數(shù)f(x)的平均變化率的步驟是：(1)根據(jù)x1和x2值寫出自變量的增量Δx；(2)由Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)計(jì)算函數(shù)增量；例2一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示時(shí)間．(1)求質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．[分析]通常以某一具體函數(shù)為載體，利用求導(dǎo)的“三步曲”，進(jìn)行計(jì)算．[

6、解]解法一：(導(dǎo)數(shù)定義法)∴f′(2)＝y(tǒng)′

7、x＝2＝－1.[點(diǎn)撥]根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法．[解]解法一：(導(dǎo)數(shù)定義法)例4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，試求下列各極限的值．[分析]給出某抽象函數(shù)在某點(diǎn)x0處可導(dǎo)的條件，求另一抽象函數(shù)在某點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，或求另一抽象函數(shù)在某點(diǎn)x0處的極限．[點(diǎn)撥]　在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式．利用函數(shù)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義的形式．概念是解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)

8、行解題．[答案]2?。?只有當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)同時(shí)存在并且相等時(shí)，才能說(shuō)函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，即函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)．[點(diǎn)撥]判斷f(x)在x＝1處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)是否同時(shí)存在且相等．