導數(shù)及其應用課件.ppt

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1、第一章導數(shù)及其應用本章概覽導數(shù)是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，是微積分的核心概念之一．它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題的最一般、最有效的工具，因而也是解決諸如運動速度、增長率以及用料最省、利潤最大等實際問題的最有力的工具．定積分也是微積分的核心概念之一，自然科學和生產(chǎn)實踐中的許多問題，如一般平面圖形的面積、變力做功等都可以歸結(jié)為定積分的問題．本章中，利用豐富的背景和大量實例，學習導數(shù)和定積分的基本概念與思想方法；通過導數(shù)研究了函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最值)，解決了生活中的最優(yōu)化問題等實踐活動，并通過應用定積分解決一些簡單的幾何和物理問題，初步感受導數(shù)和定積分在解決數(shù)學問題與實際問題中的作用；

2、通過微積分基本定理的學習，初步體會了導數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系．本章的重點有三個：一是利用導數(shù)的定義求簡單函數(shù)的導數(shù)，能運用導數(shù)公式、運算法則求導數(shù)；二是利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極大(小)值和最大(小)值；三是利用導數(shù)的方法解決實際應用問題．本章的難點有兩個：一是對導數(shù)概念的理解、導數(shù)方法的應用；二是對定積分的定義、思想方法的認識.1.1.1～1.1.2　變化率問題　導數(shù)的概念1.通過實例，領(lǐng)悟由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實的過程．2.了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)．3.體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵，并能運用.1.平均變化率3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)自我校對：1.

3、函數(shù)y＝f(x)的自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數(shù)值的改變量Δy為(　　)A．f(x0＋Δx)　　　　B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：分別寫出x＝x0和x＝x0＋Δx對應的函數(shù)值f(x0)和f(x0＋Δx)，兩式相減，就得到了函數(shù)值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故應選D.答案：D2．若一質(zhì)點按規(guī)律s＝8＋t2運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是(　　)A．4B．4.1C．0.41D．－1.1答案：B3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)可表示為(　　)答案：A答案：3－Δx5．求函數(shù)y＝x2在點x＝1處的導數(shù)．(1)函數(shù)f(x)

4、在x1，x2處有定義；(2)x2是x1附近的任意一點，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可負；(3)注意變量的對應，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；(4)平均變化率可正可負，也可為零．2．根據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)y＝f(x)在x0處的導數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；3．對導數(shù)概念的理解某點導數(shù)即為函數(shù)在這點的瞬時變化率，含著兩層含義：(3)若設(shè)x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)題中的平均變化率的幾何意義．[解]f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx

5、)－5－(2×x＋3×x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(2)當x1＝4，Δx＝0.1時，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，[點撥]求函數(shù)f(x)的平均變化率的步驟是：(1)根據(jù)x1和x2值寫出自變量的增量Δx；(2)由Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)計算函數(shù)增量；例2一質(zhì)點的運動方程為s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示時間．(1)求質(zhì)點在[1,1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度；(2)求質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度．[分析]通常以某一具體函數(shù)為載體，利用求導的“三步曲”，進行計算．[

6、解]解法一：(導數(shù)定義法)∴f′(2)＝y(tǒng)′

7、x＝2＝－1.[點撥]根據(jù)導數(shù)的定義求導數(shù)是求函數(shù)的導數(shù)的基本方法．[解]解法一：(導數(shù)定義法)例4設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處可導，試求下列各極限的值．[分析]給出某抽象函數(shù)在某點x0處可導的條件，求另一抽象函數(shù)在某點x0處的導數(shù)，或求另一抽象函數(shù)在某點x0處的極限．[點撥]　在導數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必須選擇與之相對應的形式．利用函數(shù)f(x)在x＝x0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導數(shù)定義的形式．概念是解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應用概念進

8、行解題．[答案]2?。?只有當函數(shù)在某點的左導數(shù)、右導數(shù)同時存在并且相等時，才能說函數(shù)在該點處的導數(shù)存在，即函數(shù)在該點可導．[點撥]判斷f(x)在x＝1處的左導數(shù)、右導數(shù)是否同時存在且相等．