圓中的最值問題.doc

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1、拔高專題圓中的最值問題一、基本模型構建常見模型圖(1)圖（2）思考圖（1）兩點之間線段最短；圖（2）垂線段最短。.在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．二、拔高精講精練探究點一：點與圓上的點的距離的最值問題例1：如圖，A點是⊙O上直徑MN所分的半圓的一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是MN上一動點，⊙O的半徑為3，求AP+BP的最小值。解：作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，連接OA′，AA′．∵點A與A′關于MN對稱，點A

2、是半圓上的一個三等分點，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵點B是弧AN的中點，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，∴A′B=3．∵兩點之間線段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3．【教師總結】解決此題的關鍵是確定點P的位置．根據(jù)軸對稱和兩點之間線段最短的知識，把兩條線段的和轉化為一條線段，即可計算。第3頁共3頁探究點二：直線與圓上點的距離的最值問題例2：如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），求切線PQ的最小值解：連接OP、OQ．∵PQ是

3、⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴當PO⊥AB時，線段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ==2．【變式訓練】如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O是一動點且P在第一象限內，過P作⊙O切線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B．求線段AB的最小值．解：（1）線段AB長度的最小值為4，理由如下：連接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中點C，∴AB=2OC；當OC=OP時，OC最短，即AB最短，此時AB=4．第3頁共3頁【教師總結】結合切線的性質以及輔助線的作法，利用“垂線

4、段最短”是解決此類問題的關鍵。第3頁共3頁