分離變量法求解偏微分方程ppt課件.ppt

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1、第十章分離變量法第一節(jié)有界弦的自由振動第二節(jié)有限長桿上的熱傳導(dǎo)第三節(jié)特殊區(qū)域上的位勢方程第四節(jié)高維定解問題的分離變量法第五節(jié)對非齊次邊界條件和非齊次方程的處理1第一節(jié)有界弦的自由振動物理解釋：一根長為l的弦，兩端固定，給定初始位移和速度，在沒有強(qiáng)迫外力作用下的振動2求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解本征值問題X(x)：T(t)：3第二步：求本征值?和本征函數(shù)X(x)，以及T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式本征值和本征函數(shù)4第三步：利用初始條件求得定解問題的解利用初始條件得5駐波其中振幅頻率初相位振動元素

2、，本征振動駐波oln=46其它邊界條件的混合問題兩端自由的邊界條件7左端點(diǎn)自由、右端點(diǎn)固定的邊界條件8左端點(diǎn)固定、右端點(diǎn)自有的邊界條件9第三類邊界條件的混合問題的求解中遇到的困難10舉例-弦的敲擊對不同的c，有界弦的自由振動11當(dāng)c=0.2l時(shí)，有界弦的自由振動12當(dāng)c=0.5l時(shí)，有界弦的自由振動13再例-弦的撥動對不同的d，有界弦的自由振動14當(dāng)d=0.5l時(shí)，有界弦的自由振動15當(dāng)d=0.3l時(shí)，有界弦的自由振動16第二節(jié)有限長桿上的熱傳導(dǎo)物理解釋：一根長為l的均勻細(xì)桿，其右端保持絕熱，左端保持零度，給定桿內(nèi)的初始的溫度分布，在

3、沒有熱源的情況下桿在任意時(shí)刻的溫度分布17求解的基本步驟第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解本征值問題X(x)：T(t)：18第二步：求本征值?和本征函數(shù)X(x)，以及T(t)的表達(dá)式T(t)的表達(dá)式本征值和本征函數(shù)19第三步：利用初始條件求得定解問題的解利用初始條件得20舉例21當(dāng)u0=1時(shí)，桿內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化22第三節(jié)特殊區(qū)域上的位勢方程矩形域上的邊值問題散熱片的橫截面為一矩形[0,a]?[0,b]，它的一邊y=b處于較高的溫度，其它三邊保持零度。求橫截面上的穩(wěn)恒的溫度分布23參數(shù)選取24圓域內(nèi)的邊值問題一個(gè)半

4、徑為a的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù)f(x,y)，求穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤內(nèi)的溫度分布25ora??+2?隱含著的周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件26第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件的變量分離形式的解?(?)：R(r)：周期本征值問題歐拉方程27第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程28第三步：利用邊界條件利用邊界條件29解的約化-Poisson積分公式30舉例-觀察法31第四節(jié)高維定解問題的分離變量法球域內(nèi)Laplace方程的邊值問題球域內(nèi)波動方程的初邊混合問題球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題32球域內(nèi)Lapl

5、ace方程的邊值問題球面坐標(biāo)變換33隱含著的周期邊值條件和球內(nèi)約束條件34第一步：求滿足方程、周期邊界條件和球內(nèi)約束條件的變量分離的解R(r)：?(?)：?(?)：35R(r)：?(?)：歐拉方程第二步：求R(r)，?(?)和?(?)的具體表達(dá)式36?(?)：?(?)=?(cos-1x)=y(x)：締合勒讓德方程37第三步：利用邊界條件求解38舉例半徑為a的球形內(nèi)部沒有電荷，球面上的電勢為sin2?cos?sin?，求球形區(qū)域內(nèi)部的電勢分布39附記：球函數(shù)R(r)：Y(?,?)：球函數(shù)球方程40球域內(nèi)波動方程的初邊混合問題41第一步：

6、首先將時(shí)間變量與空間變量分離開來，即求形如T(t)：v(x,y,z)：其中k是待定常數(shù)42第二步：求解T(t)第三步：求解v(x,y,z)43求如下形式的解R(r)：Y(?,?)：球函數(shù)球Bessel方程球Bessel函數(shù)44第四步：利用初始條件求解45球域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的初邊混合問題46附注對于其它特殊區(qū)域上的定解問題我們同樣可以利用分離變量法進(jìn)行求解例如：半球內(nèi)或外、圓柱上的Laplace方程的邊值問題半球內(nèi)或外、圓柱上的波動方程和熱傳導(dǎo)的初邊混合問題等47第五節(jié)對非齊次邊界條件和非齊次方程的處理對非齊次邊界條件的處理疊加原理對非齊

7、次方程的處理48對非齊次邊界條件的處理將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件49其中w可以取或50疊加原理51對非齊次方程的處理沖量定理法Fourier級數(shù)法52Fourier級數(shù)法滿足齊次邊界條件正交完備系53預(yù)設(shè)則有54其中55舉例-共振56當(dāng)?趨向于某個(gè)特征頻率?k，則有這說明當(dāng)?=?k時(shí)，對應(yīng)于第k個(gè)特征頻率?k的振動元素的振幅隨時(shí)間的增加而增大，這種現(xiàn)象稱為共振57當(dāng)?=5時(shí)58?=??=2?問題：在本例中為什么在?=2?時(shí)不發(fā)生共振？?=3?59此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！