拉格朗日函數.ppt

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1、§9.10多元函數的極值及其求法多元函數的極值和最值條件極值拉格朗日乘數法一、多元函數的極值和最值一、多元函數的極值和最值1、多元函數極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數取得極值的點稱為極值點.設P?Rn,函數u=f(p)在p0的某鄰域U(p0,?)內有定義，對任何p?U(p0,?),p?p0,都有f(p)f(p0),稱函數u=f(p)在p0點有極小值。(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函數取得極值的條件證前提：多元函數在（X0,Y0）處有偏導。注：1）極值點處的切平面平行于xoy平面；2）使一階偏導數同時為零的點，稱

2、為函數的駐點.駐點極值點如何判定駐點是否為極值點？注意：求最值的一般方法：將函數在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.3、多元函數的最值第三步，比較以上兩步所得各函數值，最大者為M，最小者為m．故M=25，m=9．解(舍去x1)解由?x=y無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.實例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買張磁盤，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為．設每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果．問題的實質：求在條件下的極值點．二、

3、條件極值拉格朗日乘數法條件極值：對自變量有附加條件的極值．解則?2x=3y,y=2z解可得即1.在橢圓上求一點，使其到直線的距離最短。解設P(x，y)為橢圓上任意一點，則P到直線的距離為求d的最小值點即求的最小值點。作由lagrange乘數法，令得方程組解此方程組得于是由問題的實際意義最短距離存在，因此即為所求點。3.解分析:得P1906思考