拉格朗日函數(shù).doc

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1、拉格朗日函數(shù)求極值求函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值方法（步驟）是：1.做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱拉格朗日乘數(shù)2.求L分別對x,y,z,λ求偏導(dǎo),得方程組,求出駐點(diǎn)P(x,y,z)如果這個實(shí)際問題的最大或最小值存在,一般說來駐點(diǎn)唯一,于是最值可求.條件極值問題也可以化為無條件極值求解,但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜,代換和運(yùn)算很繁,而相對來說,“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換,運(yùn)算簡單一點(diǎn).這就是優(yōu)勢.條件φ(x,y,z)一定是個等式，不妨設(shè)為φ(x,y,z)=m則再

2、建一個函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-mg(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計(jì)一個容積為V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高,使水箱的表面積最小.設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z，則水箱容積V=xyz焊制水箱用去的鋼板面積為S=2xz+2yz+xy這實(shí)際上是求函數(shù)S在V限制下的最小值問題。這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題，其一般形式是在條件微觀中的應(yīng)用均衡原則微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究消費(fèi)者行為時(shí)，所要闡述的核心

3、問題是消費(fèi)者均衡的原則。所謂消費(fèi)者均衡指的是一個有理性的消費(fèi)者所采取的均衡購買行為。進(jìn)一步說，它是指保證消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。但人的需要或欲望是無限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價(jià)格和消費(fèi)者的貨幣收入水平。首先，我們先引入一些名詞解釋:總效用(TU):消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)消費(fèi)一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。邊際效用(MU):消費(fèi)者在所有其它商品的消費(fèi)水平保持不變時(shí)，增加消費(fèi)一單位某種商品所帶來的滿

4、足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。商品數(shù)量(Q)，商品價(jià)格(P),收入(I)邊際效用的公式表達(dá)為:MU=?TU/?Q那么如何才能實(shí)現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？就是當(dāng)消費(fèi)者把全部收入用于購買各種商品時(shí)，他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價(jià)格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。假設(shè)當(dāng)消費(fèi)者選擇兩種商品x,y時(shí)，消費(fèi)者均衡原則的公式表達(dá)為:MUx/Px=MUy/Py("/"為分?jǐn)?shù)線）制約條件的公式表達(dá)式為:I=Px?Qx+Py?Qy。那么這一結(jié)論是

5、如何推導(dǎo)出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。上面說到：在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時(shí)，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時(shí)，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。具體方法如下:設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，L'y(x

6、,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，φ(x,y)=0套用到微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)里面：設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+λ(I-Px?Qx-Py?Qy)，λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。即?L/?Qx=?U/?Qx-λPx=0⑴?U/?Qx=λPx(邊際效用的公式表達(dá)為:MU=?TU/?Q)?L/?Qy=?U/?Qy-λPy=0⑵?U/?Qy=λPyI-Px?Qx-Py?Qy=0⑶將方程⑴除以方程

7、⑵，得:MUx:MUy=Px:Py所以，消費(fèi)者要實(shí)現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價(jià)格比率。以上是關(guān)于x和y兩種商品所說的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費(fèi)者在n種商品中做出選擇，則消費(fèi)者均衡的原則可表達(dá)為:MU1?MU2?MU3?…?MUnP1P2P3Pn