資源描述：
《向量解題的思維模式.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、向量解題的思維模式歸結(jié)課本,向量有三種語言模式,即圖形語言﹑符號語言﹑坐標(biāo)語言.三種語言相互聯(lián)系,相互轉(zhuǎn)化.每種語言構(gòu)成一種思維模式和解題方略.在解題過程中,若能善于抓住本質(zhì),提高認(rèn)知﹑辨析能力,合理地選擇語言模式,就能有效地解決問題.1.以“形”為依托,數(shù)形結(jié)合,突出向量的幾何特征.向量可以用有向線段表示,向量的加減﹑數(shù)乘向量﹑數(shù)量積等運算皆可以“作圖”完成.而幾何問題中的平行﹑垂直等位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為向量的運算關(guān)系,夾角﹑距離可以利用向量的夾角﹑模來刻劃.因而向量運算與幾何圖形息息相關(guān),這是向量運算的重要特征.例1是平面上一點,﹑﹑是平面上的不共線三點,動點滿足,則點
2、的集合構(gòu)成的圖形一定過的()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心解析:設(shè),則﹑均為單位向量.如圖1,,而,所以,而以﹑為鄰邊的平行四邊形是菱形,其對角線向量平分,因向量與向量共線,即與的平分線向量共線,所以點的集合是的平分線,故答案應(yīng)選(B).例2如圖2,已知L﹑M﹑N分別為的邊BC﹑CA﹑AB上的點,且,,,若,求證:.3解析:如何應(yīng)用條件是解題的關(guān)鍵,考慮從邊向量與﹑﹑的關(guān)系入手.由于涉及的向量較多,可選定兩個邊向量為基底,將其它向量表示為基底向量的線性形式.設(shè),且與不平行,則而,所以.又,同法可得,,代入中得因為與不平行,所以,即.2.以“符號語言”為載體,突出
3、向量數(shù)性化的符號運算簡捷的特點.向量的符號語言,提供了向量的加減﹑數(shù)乘向量﹑數(shù)量積等運算的符號法則,而這些運算法則和實數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)中的加減﹑乘法運算有許多共同之處.在解決問題時,有時不需考慮向量的幾何背景,而直接利用符號簡單的運算特點,反而會使解答過程簡捷明了.例3設(shè)向量﹑滿足求的值.解析:此題構(gòu)造圖形難度較大,因而選用符號語言直接進(jìn)行運算.,只需求出的值即可.又兩端平方可求得,故=.例4已知向量﹑﹑滿足++,
4、
5、=
6、
7、=
8、
9、=1,求證:是正三角形.解析:此題雖然涉及幾何圖形,但利用符號語言運算,思考簡單,效果更好.要證是正三角形,由于
10、
11、=
12、
13、=
14、
15、=1,因而只需證明即可
16、,由向量夾角公式可知應(yīng)有.++,兩端平方得,同理可推,即成立,3則是正三角形可得證.3.以“坐標(biāo)語言”為主線,內(nèi)聯(lián)外延,突出向量運算法則及性質(zhì)的應(yīng)用坐標(biāo)法是幾何問題向量代數(shù)化的重要思想方法,坐標(biāo)語言是聯(lián)系其它知識的橋梁,是數(shù)學(xué)問題橫向轉(zhuǎn)化的一個切入點,在函數(shù)﹑不等式﹑幾何中具有較強的滲透作用.例5已知向量﹑﹑兩兩所成的角相等,并且
17、
18、=1,
19、
20、=2,
21、
22、=3,求向量++的長度及與向量的夾角.解析:建立直角坐標(biāo)系,設(shè)且.因為﹑﹑兩兩所成角相等.若﹑﹑方向相同時,=(2,0),=(3,0),則++=(6,0),
23、++
24、=6;與向量的夾角為.若時.,.則++,求得
25、++
26、=.因
27、為++),由夾角公式得,=.即兩向量的夾角為.例6已知﹑﹑為正數(shù),求函數(shù)的最小值.解析:觀察式子與的結(jié)構(gòu)特征和向量的模的結(jié)構(gòu)形式相同,考慮利用向量模的性質(zhì)求解.構(gòu)造向量,則,,由向量加法的幾何性質(zhì)得,即函數(shù)的最小值為3
