中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價(jià)值

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1、中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價(jià)值作者：何憶捷/熊斌作者簡介：何憶捷（1985-），男，上海人，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，博士，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)競賽及數(shù)學(xué)資優(yōu)教育研究；熊斌，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（上海200241）?原文出處：《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》（津）2018年第20182期第50-53頁內(nèi)容提要：在屮學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，構(gòu)造法是一種較為常見、富有特點(diǎn)的解題方法，其非常規(guī)性與創(chuàng)造性的思維特點(diǎn)受到一定的認(rèn)同?構(gòu)造法解題的4類思維模式包括：考

2、慮特殊情形、聯(lián)想與關(guān)聯(lián)、命題轉(zhuǎn)換和間接構(gòu)造?在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中融入構(gòu)造法解題，具備一定的基礎(chǔ)?將構(gòu)造法解題滲透于教學(xué)實(shí)踐中,有拓寬思維、培養(yǎng)創(chuàng)造力的特殊意義和教育價(jià)值.期刊名稱：《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》復(fù)印期號(hào)：2018年09期關(guān)鍵詞:構(gòu)造法/解題/思維模式標(biāo)題注釋:【基金項(xiàng)目】上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室數(shù)學(xué)實(shí)踐課題一一高屮數(shù)學(xué)資優(yōu)生培養(yǎng)的行動(dòng)研究（18dz2271000）.在數(shù)學(xué)上，構(gòu)造法是指按固定的方式經(jīng)有限個(gè)步驟能夠?qū)崿F(xiàn)的，用來定義概念或證明命題的方法⑴構(gòu)造法由來已久在中國古代，以秦漢時(shí)期《九章算術(shù)》與1晉時(shí)期

3、《劉徽注》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),在從問題出發(fā)以解決問題為主旨的發(fā)展過程中，建立了以構(gòu)造性與機(jī)械化為特色的算法體系[2門9世紀(jì)末，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直覺學(xué)派提出構(gòu)造性數(shù)學(xué),并將構(gòu)造法推向極致?直覺主義制區(qū)克羅尼克主張沒有能行性就不得承認(rèn)它的存在性，布勞威爾更貫徹和發(fā)展了"存在必須被構(gòu)造"的觀點(diǎn)[1].直覺主義者對(duì)于要確立其存在的那個(gè)對(duì)象要求一個(gè)構(gòu)造性定義，"這個(gè)構(gòu)造性定義必須由有限個(gè)步驟可以確定到任何需要的精確度〃[3].在中學(xué)數(shù)學(xué)范內(nèi),構(gòu)造法是一種較為常見、富有特點(diǎn)的解題方法?一般認(rèn)為,構(gòu)造法解題大致可歸結(jié)為〃構(gòu)造法作為

4、輔助手段〃及"存在性命題的構(gòu)造證明"這兩方面[4].例如，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，構(gòu)造解析幾何模型求參數(shù)的范圍等，屬于前一方面，這時(shí)構(gòu)造是一種使問題得以轉(zhuǎn)化的輔助手段，并不是解決問題的目的；而直接列舉出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象或反例，導(dǎo)致結(jié)論的肯定與否定，則屬于后一方面.需要指出的是，在一些問題中，要求給出滿足條件的所有數(shù)學(xué)對(duì)象，或是滿足條件的某種最優(yōu)結(jié)果,隱含地需要對(duì)一部分情況予以證明,對(duì)另一部分情況予以否定,這些問題也常常涉及實(shí)例或反例的構(gòu)造.這里在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)探討構(gòu)造法解題的思維特點(diǎn)、思維模式及教育價(jià)值.一、構(gòu)造法

5、解題的思維特點(diǎn)許多國內(nèi)數(shù)學(xué)教育者論述了構(gòu)造法解題的思維特點(diǎn).王延文（1993）認(rèn)為，構(gòu)造法解題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論的特征，用條件中的元素為〃原件"，用已知數(shù)學(xué)關(guān)系為〃支架"，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象、一種新的數(shù)學(xué)形式，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決，其思維方式上常常表現(xiàn)出簡潔、明快、精巧等特點(diǎn),常使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī),另辟蹊徑⑸.邵光華(2009)認(rèn)為，構(gòu)造法不同于常規(guī)的一步步尋求必要條件直至推導(dǎo)出結(jié)論的邏輯思維方法,屬于非常規(guī)思維,沒有完全固定的模式可以套用,具有鮮明的創(chuàng)造性；反例構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、

6、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)[1].周春荔(2012)認(rèn)為，構(gòu)造是思維中綜合過程的一種最高級(jí)的表現(xiàn)形式和結(jié)果[6].盡管國外的數(shù)學(xué)教育研究幾乎不涉及〃構(gòu)造法"這一術(shù)語，但亦有支持上述觀點(diǎn)的論述例如,Chamberlin與Moon(2005)認(rèn)為，構(gòu)造模型可引發(fā)創(chuàng)造行為和更高層次的思考，尤其是在綜合的水平上，其中，模型是指由元素、元素間的關(guān)系、描述元素相互作用的操作以及適用于這些關(guān)系與操作的模式或規(guī)則所構(gòu)成的系統(tǒng)[7].Mednick(1962)將創(chuàng)造性思維過程定義為〃由關(guān)聯(lián)元素形成新的組合，這些組合符合

7、特定要求，或在某種意義上是有用的"，并認(rèn)為新組合中的元素之間關(guān)系越遠(yuǎn)，代表形成新組合的思維過程或解答越有創(chuàng)造性[8].實(shí)際上，這些來自不同角度的論述與構(gòu)造法解題有許多一致的成分.總體而言,構(gòu)造法解題的非常規(guī)性與創(chuàng)造性的思維特點(diǎn),受到一定的認(rèn)同.二、構(gòu)造法解題的若干思維模式在20世紀(jì)中期，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞的論著《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與猜想》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》構(gòu)成了數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域的奠基性工作[9J2],其中，《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》對(duì)雙軌跡模式、笛卡爾模式、疊加模式、遞歸模式作了詳細(xì)的討論[12],這些可以視為數(shù)學(xué)解題的典型有用的

8、思維模式.在構(gòu)造法解題這一具體領(lǐng)域，余紅兵、嚴(yán)鎮(zhèn)軍（2001）所著《構(gòu)造法解題》作為一本專門向中學(xué)生介紹構(gòu)造法解題的小冊(cè)子,通過分析具體的問題,談到了一些解決構(gòu)造問題的思考線索，例如,"觀察分析問題中的數(shù)量關(guān)系,并據(jù)此構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助圖形"；"從問題中某些簡單、特殊的情況著手……由此?？赡苷T導(dǎo)出所需的構(gòu)造"；"在證明符合要求的事物有無窮個(gè)時(shí)，舍多求少的想法尤能派上用場(chǎng)"；〃