隨機過程隨機分析.ppt

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1、第六章隨機分析隨機分析簡介微積分中普通函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念推廣到隨機過程的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分上即隨機分析2隨機分析簡介一、均方收斂定義6.4設(shè)有二階矩隨機序列{Xn}和二階矩隨機變量X，若有成立，則稱{Xn}均方收斂于X。記作或(meansquare)(limitinmean)3隨機分析簡介定理6.2（柯西收斂定理）二階矩隨機序列{Xn}收斂于二階矩隨機變量X的充要條件是4隨機分析簡介定理6.2設(shè){Xn},{Yn},{Zn},都是二階矩隨機序列，U是二階矩隨機變量，{cn}為常數(shù)序列，a,b,c為常數(shù)，令則(1)(2)(3)5隨機分析簡介(4)(5)

2、(6)6隨機分析簡介定理6.4設(shè){Xn}為二階矩隨機序列，則{Xn}均方收斂的充要條件是下列極限存在7隨機分析簡介二、均方連續(xù)定義6.6設(shè)有二階矩過程{X(t),t?T}，若對每一個t?T，有則稱X(t)在t點均方連續(xù)，記作若對T中的一切點都均方連續(xù)，則稱X(t)在T上均方連續(xù)8隨機分析簡介定理6.5（均方連續(xù)準(zhǔn)則）二階矩過程{X(t),t?T}，在t點均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(t,t)處連續(xù)。推論若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在{(t,t)，t?T}上連續(xù)，則它在T?T上連續(xù)。9隨機分析簡介三、均方導(dǎo)數(shù)定義6.7二階矩過程{X(t

3、),t?T}，若存在隨機過程X?(t)，滿足則稱X(t)在t點均方可微，記作并稱X?(t)為X(t)在t點的均方導(dǎo)數(shù)。10隨機分析簡介若X(t)在T上每一點均方可微，則稱X(t)在T上均方可微。類似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為11隨機分析簡介定理6.6（均方可微準(zhǔn)則）二階矩過程{X(t),t?T}，在t點均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(t,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。推論1二階矩過程{X(t),t?T}在T上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在{(t,t)，t?T}上每一點廣義二階可微。推論

4、2若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在{(t,t)，t?T}上每一點廣義二階可微，則12隨機分析簡介13隨機分析簡介四、均方積分設(shè){X(t),t?T}為二階矩過程，f(t)為普通函數(shù)，其中T=[a,b]，用一組分點將T劃分如下：a=t0

5、]上可積。16隨機分析簡介定理6.8設(shè)f(t)X(t)在區(qū)間[a,b]上均方可積，則有(1)(2)17隨機分析簡介定理6.9設(shè)二階矩過程{X(t),t?T}在區(qū)間[a,b]上均方連續(xù)，則在均方意義下存在，且隨機過程{Y(t),t?T}在區(qū)間[a,b]上均方可微，有Y?(t)=X(t)。推論設(shè)X(t)均方可微，且X?(t)均方連續(xù)，則18隨機分析簡介例6.7設(shè){X(t),t?T}是實均方可微過程，求其導(dǎo)數(shù)過程{X?(t),t?T}的協(xié)方差函數(shù)BX?(s,t)。解由定理6.6推論2(1)由定理6.6推論2(4)19隨機分析簡介所以20