例談“常值換元”法解題.doc

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1、例談“常值換元”法解題李曉淵所謂“常值換元”，就是用字母代替題目中的已知數(shù)值。對某些題目，利用這種“常值換元”法來求解，往往能化繁為簡、巧妙獲解。一、利用“常值換元”法化簡與求值例1.計算。簡析：因題中涉及的某些已知數(shù)較大，直接計算不僅運算量大，而且書寫起來也很麻煩。為此，令，于是原式，分子和分母都很容易分解因式，約去因式后，原式。（解答略）二、利用“常值換元”法分解因式例2.分解因式。簡析：本題常規(guī)解法是將原式乘開并合并整理成x的三次式后再分解，這樣做反而把原有的規(guī)律給破壞，分解起來會感困難，此題有何特點呢？，后者比前者多1；而6、7、8，后者也比前者多1。若

2、將常數(shù)6反用字母（a+1）來代替，則原式為，相減的兩式結(jié)構(gòu)完全一樣，乘開后即為，這樣就可提出公因式，繼而原式可分解為。（解答略）例3.分解因式。簡析：對高次多項式分解因式，常常是先找有理根，再利用因式定理來分解，或直接進行分組分解等。但此題中，它既無有理根，也一時不知如何分組好，怎么辦？再次觀察原式，發(fā)現(xiàn)系數(shù)中有兩個1999、一個1998，若置，則原式，一眼便知，此式就是，從而原式可分解為。（解答略）三、利用“常值換元”法解方程例4.解方程。簡析：這是一個關(guān)于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一時真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式來求解，顯然十分繁

3、瑣，況且考綱也沒有要求中學(xué)生掌握三次方程的求根公式。怎么辦？我們仔細(xì)觀察原方程的系數(shù)，發(fā)現(xiàn)與2累次出現(xiàn)，如果把用a表示，則原方程就是=0，由于x不為0，此方程可整理成關(guān)于a的一元二次方程：。利用二次方程求根公式不難解得，于是有或，從而可求出原方程的根為。（解答略）注：①將一個高次方程中累次出現(xiàn)的系數(shù)與k分別用來表示，再轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a的一元二次方程，這種“反客為主”的求解法，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想，也說明了常量與變量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，同學(xué)們要細(xì)心領(lǐng)會并掌握它。②仿例，解方程。四、利用“常值換元”法證明不等式例5.求證：。簡析：可證，由于左邊是關(guān)于冪的分式，運算起來很

4、困難，當(dāng)我們把用字母a代換后，，運算起來很容易，即為，顯然其結(jié)果小于0，故原不等式成立。（證明略）年級　初中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題　　例談“常值換元”法解題分類索引號　　G.622.46分類索引描述　　輔導(dǎo)與自學(xué)主題詞　　例談“常值換元”法解題欄目名稱　學(xué)法指導(dǎo)供稿老師審稿老師錄入李霞一校胡丹二校審核