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1、有限元法學(xué)院：機(jī)械電子工程學(xué)院專業(yè)：機(jī)械制造及其自動化姓名：李淑磊班級：17-1班學(xué)號：201782050009一、有限元法的概念二、基本計算步驟三、發(fā)展與應(yīng)用基本思想一、幾個基本概念有限元法是把要分析的連續(xù)體假想地分割成有限個單元所組成的組合體，簡稱離散化。這些單元僅在頂角處相互聯(lián)接，稱這些聯(lián)接點為節(jié)點。離散化的組合體與真實彈性體的區(qū)別在于：組合體中單元與單元之間的聯(lián)接除了結(jié)點之外再無任何關(guān)聯(lián)。但是這種聯(lián)接要滿足變形協(xié)調(diào)條件，即不能出現(xiàn)裂縫，也不允許發(fā)生重疊。顯然，單元之間只能通過結(jié)點來傳遞內(nèi)力。通過結(jié)點來傳遞的內(nèi)力稱為節(jié)點
2、力，作用在結(jié)點上的荷載稱為節(jié)點荷載。當(dāng)連續(xù)體受到外力作用發(fā)生變形時，組成它的各個單元也將發(fā)生變形，因而各個結(jié)點要產(chǎn)生不同程度的位移，這種位移稱為節(jié)點位移。單元節(jié)點節(jié)點力節(jié)點荷載節(jié)點位移在有限元中，常以結(jié)點位移作為基本未知量。并對每個單元根據(jù)分塊近似的思想，假設(shè)一個簡單的函數(shù)近似地表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，再利用力學(xué)理論中的變分原理或其他方法，建立結(jié)點力與位移之間的力學(xué)特性關(guān)系，得到一組以結(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程，從而求解結(jié)點的位移分量。然后利用插值函數(shù)確定單元集合體上的場函數(shù)。顯然，如果單元滿足問題的收斂性要求，那么隨著縮小
3、單元的尺寸，增加求解區(qū)域內(nèi)單元的數(shù)目，解的近似程度將不斷改進(jìn)，近似解最終將收斂于精確解。有限元法的基本計算步驟物體離散化單元特性分析分析單元的力學(xué)性質(zhì)選擇位移模式計算等效節(jié)點力單元組集求解未知節(jié)點位移物體離散化單元選擇：應(yīng)根據(jù)連續(xù)體的形狀選擇最能完滿地描述連續(xù)體形狀的單元。常見的單元有：桿單元，梁單元，三角形單元，矩形單元，四邊形單元，曲邊四邊形單元，四面體單元，六面體單元以及曲面六面體單元等等。單元劃分：進(jìn)行單元劃分，單元劃分完畢后，要將全部單元和結(jié)點按一定順序編號，每個單元所受的荷載均按靜力等效原理移植到結(jié)點上，并在位移受
4、約束的結(jié)點上根據(jù)實際情況設(shè)置約束條件。3維實體的4面體單元劃分平面的三角形單元劃分3維實體的6面體單元劃分將某個工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計算模型，這一步又稱作單元剖分或網(wǎng)格劃分。離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；單元節(jié)點的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計算進(jìn)度而定。用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實際情況相符合。網(wǎng)格劃分的好壞將直接影響到計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計算進(jìn)度，甚至?xí)驗榫W(wǎng)格劃分不合理而導(dǎo)致計算不收斂。網(wǎng)格的劃分主要取決于
5、專業(yè)知識和經(jīng)驗積累。一個水平高的FEA工程師，80%的時間是用在網(wǎng)格劃分上。對于一般的問題，各種FEA均能自動的進(jìn)行合理的網(wǎng)格劃分。hypermesh最目前好的劃分網(wǎng)格工具。單元特性分析分析單元的力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。平面問題的三角形單元的例子：單元有三個結(jié)點I、J、M，每個結(jié)點有兩個位移u、v和兩個結(jié)點力U、
6、V。節(jié)點位移節(jié)點力取決于材料性質(zhì)、形狀、尺寸選擇位移模式：在反映力和位移的關(guān)系式中，依據(jù)那一個量是未知量，可建立不同的模型。位移法：選擇節(jié)點位移作為基本未知量稱為位移法；力法：選擇節(jié)點力作為基本未知量時稱為力法；混合法：取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易于實現(xiàn)計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。計算等效節(jié)點力：將外在的負(fù)載力等效到各個節(jié)點上。物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在
7、單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來代替所有作用在單元上得力。彈性體有限元模型有限元法的基本計算步驟單元組集利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，形成整體的有限元方程。對由各個單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點外載荷與結(jié)點位移的關(guān)系，以解出節(jié)點位移，這個過程為整體分析。i節(jié)點的節(jié)點力：i節(jié)點的平衡方程：集中力單元節(jié)點力單元組集最終，將所有單元組合起來得到整體的方程：[K]{δ}={R}[K]——整體剛度矩陣；{δ}——全部結(jié)點位移組成的列陣；{R}——全部
8、結(jié)點荷載組成的列陣。在位移法中，只有{δ}是未知的，求解該線性方程組就可得到各結(jié)點的位移。將結(jié)點位移代入相應(yīng)方程中可求出單元的應(yīng)力分量。有限元法不僅可以求結(jié)構(gòu)體的位移和應(yīng)力，還可以對結(jié)構(gòu)體進(jìn)行穩(wěn)定性分析和動力分析。例如，結(jié)構(gòu)體的整體動力方程：[M]{δ}+[C]{δ}+[K]
