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1、有限元法學(xué)院:機(jī)械電子工程學(xué)院專業(yè):機(jī)械制造及其自動化姓名:李淑磊班級:17-1班學(xué)號:201782050009一、有限元法的概念二、基本計算步驟三、發(fā)展與應(yīng)用基本思想一、幾個基本概念有限元法是把要分析的連續(xù)體假想地分割成有限個單元所組成的組合體,簡稱離散化。這些單元僅在頂角處相互聯(lián)接,稱這些聯(lián)接點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。離散化的組合體與真實(shí)彈性體的區(qū)別在于:組合體中單元與單元之間的聯(lián)接除了結(jié)點(diǎn)之外再無任何關(guān)聯(lián)。但是這種聯(lián)接要滿足變形協(xié)調(diào)條件,即不能出現(xiàn)裂縫,也不允許發(fā)生重疊。顯然,單元之間只能通過結(jié)點(diǎn)來傳遞內(nèi)力。通過結(jié)點(diǎn)來傳遞的內(nèi)力稱為節(jié)點(diǎn)力,作用在結(jié)
2、點(diǎn)上的荷載稱為節(jié)點(diǎn)荷載。當(dāng)連續(xù)體受到外力作用發(fā)生變形時,組成它的各個單元也將發(fā)生變形,因而各個結(jié)點(diǎn)要產(chǎn)生不同程度的位移,這種位移稱為節(jié)點(diǎn)位移。單元節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)荷載節(jié)點(diǎn)位移在有限元中,常以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。并對每個單元根據(jù)分塊近似的思想,假設(shè)一個簡單的函數(shù)近似地表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律,再利用力學(xué)理論中的變分原理或其他方法,建立結(jié)點(diǎn)力與位移之間的力學(xué)特性關(guān)系,得到一組以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程,從而求解結(jié)點(diǎn)的位移分量。然后利用插值函數(shù)確定單元集合體上的場函數(shù)。顯然,如果單元滿足問題的收斂性要求,那么隨著縮小單元的尺寸,增加求解區(qū)域
3、內(nèi)單元的數(shù)目,解的近似程度將不斷改進(jìn),近似解最終將收斂于精確解。有限元法的基本計算步驟物體離散化單元特性分析分析單元的力學(xué)性質(zhì)選擇位移模式計算等效節(jié)點(diǎn)力單元組集求解未知節(jié)點(diǎn)位移物體離散化單元選擇:應(yīng)根據(jù)連續(xù)體的形狀選擇最能完滿地描述連續(xù)體形狀的單元。常見的單元有:桿單元,梁單元,三角形單元,矩形單元,四邊形單元,曲邊四邊形單元,四面體單元,六面體單元以及曲面六面體單元等等。單元劃分:進(jìn)行單元劃分,單元劃分完畢后,要將全部單元和結(jié)點(diǎn)按一定順序編號,每個單元所受的荷載均按靜力等效原理移植到結(jié)點(diǎn)上,并在位移受約束的結(jié)點(diǎn)上根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置約束條件
4、。3維實(shí)體的4面體單元劃分平面的三角形單元劃分3維實(shí)體的6面體單元劃分將某個工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計算模型,這一步又稱作單元剖分或網(wǎng)格劃分。離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來;單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì),描述變形形態(tài)的需要和計算進(jìn)度而定。用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理,則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。網(wǎng)格劃分的好壞將直接影響到計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計算進(jìn)度,甚至?xí)驗榫W(wǎng)格劃分不合理而導(dǎo)致計算不收斂。網(wǎng)格的劃分主要取決于專業(yè)知識和經(jīng)驗積累。一個水平高的FEA工程師,8
5、0%的時間是用在網(wǎng)格劃分上。對于一般的問題,各種FEA均能自動的進(jìn)行合理的網(wǎng)格劃分。hypermesh最目前好的劃分網(wǎng)格工具。單元特性分析分析單元的力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等,找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式,這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式,從而導(dǎo)出單元剛度矩陣,這是有限元法的基本步驟之一。平面問題的三角形單元的例子:單元有三個結(jié)點(diǎn)I、J、M,每個結(jié)點(diǎn)有兩個位移u、v和兩個結(jié)點(diǎn)力U、V。節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)力取決于材料性質(zhì)、形狀、尺寸選擇位移模式:在
6、反映力和位移的關(guān)系式中,依據(jù)那一個量是未知量,可建立不同的模型。位移法:選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量稱為位移法;力法:選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時稱為力法;混合法:取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易于實(shí)現(xiàn)計算自動化,所以,在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。計算等效節(jié)點(diǎn)力:將外在的負(fù)載力等效到各個節(jié)點(diǎn)上。物體離散化后,假定力是通過節(jié)點(diǎn)從一個單元傳遞到另一個單元。但是,對于實(shí)際的連續(xù)體,力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而,這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去,也就是用等效
7、的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上得力。彈性體有限元模型有限元法的基本計算步驟單元組集利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來,形成整體的有限元方程。對由各個單元組成的整體進(jìn)行分析,建立節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系,以解出節(jié)點(diǎn)位移,這個過程為整體分析。i節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力:i節(jié)點(diǎn)的平衡方程:集中力單元節(jié)點(diǎn)力單元組集最終,將所有單元組合起來得到整體的方程:[K]{δ}={R}[K]——整體剛度矩陣;{δ}——全部結(jié)點(diǎn)位移組成的列陣;{R}——全部結(jié)點(diǎn)荷載組成的列陣。在位移法中,只有{δ}是未知的,求解該線性方程組就可得到各結(jié)點(diǎn)的
8、位移。將結(jié)點(diǎn)位移代入相應(yīng)方程中可求出單元的應(yīng)力分量。有限元法不僅可以求結(jié)構(gòu)體的位移和應(yīng)力,還可以對結(jié)構(gòu)體進(jìn)行穩(wěn)定性分析和動力分析。例如,結(jié)構(gòu)體的整體動力方程:[M]{δ}+[C]{δ}+[K]