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1、概率統(tǒng)計模型第一講概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)1.概率論的基本知識2.蒙特莫特問題3.報童的訣竅4.考試成績的標準分5.大數(shù)定律和中心極限定理(1)概率的公理化定義設(shè)E是隨機試驗,?是它的樣本空間。對于E中的每一個事件A賦予下一個實數(shù),記為P(A)。若P(A)滿足以下三個條件:(1)非負性:對每一個事件,有P(A)?0;(2)P(?)=1;(3)可列可加性:設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件,則1.概率論的基本知識(2)條件概率的相關(guān)內(nèi)容在事件B,已經(jīng)發(fā)生條件下,事件A發(fā)生的概率,稱為事件A在給定事件B的條件下的條件概率,簡稱A對B的條件概率,記作P(A
2、B).例110個考簽
3、中有4個難簽,3人參加抽取(不放回),甲先乙次丙最后。求：(1)甲抽到難簽的概率;(2)甲、乙都抽到難簽的概率;(3)甲沒有抽到難簽而乙抽到難簽的概率；(4)甲、乙、丙都抽到難簽的概率。解：設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽,則解“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;全概率公式全概率公式說明全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.稱此為貝葉斯公式.貝葉斯公式例3解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得(3)隨機變量設(shè)E是隨機試驗,樣本空
4、間為?。若對于每一個樣本點?∈?都有唯一的實數(shù)X(?)與之對應(yīng),稱X(?)為隨機變量。隨機變量常用?,?,?,X,Y,Z等表示。紅色白色說明定義離散型隨機變量的分布律也可表示為在相同條件下相互獨立地進行5次射擊,每次射擊時擊中目標的概率為0.6,則擊中目標的次數(shù)X服從b(5,0.6)的二項分布.定義1正態(tài)分布(或高斯分布)正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景(4)隨機變量的數(shù)學期望1.離散型隨機變量X有分布律：P{?=xk}=pk(k=1,
5、2,…)若級數(shù)?kxkpk絕對收斂,則稱這個級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學期望,簡稱期望或均值,記為EX,即EX=?kxkpk設(shè)是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為如果絕對收斂，定義的數(shù)學期望為2.例4如何確定投資決策方向?某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預(yù)估成功的機會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資?解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.例5解(5)隨機變量的方差隨機變量?的離差的平方的數(shù)學期望稱為隨機變量?的方差,記作D?。隨機變量?的方差的計算D?=E(?-E?)2離散型隨機變量?的分布
6、律為P{?=xk}=pk,k=1,2,…則?的方差為D?=?k(xk-E?)2pk連續(xù)型隨機變量?的概率密度函數(shù)為f(x),則?的方差為2.蒙特莫特問題問題元旦節(jié)快到了，班里準備舉辦一次聯(lián)歡活動。小劉提議每人帶上一件小禮物放在一起，用抽簽的方式各取回一件作為紀念。這提議立即引起了大家的興趣，多數(shù)同學都認為這個方法有新意?？梢灿腥颂岢鲆蓡枺哼@樣抽是否會有多數(shù)人把自己帶去的禮品又抽回去了呢？模型假設(shè)假設(shè)1這個班級共有n個同學假設(shè)2每個同學都隨機地挑選一個禮物作為紀念模型分析1708年法國數(shù)學家蒙特莫特提出，或稱為“配對問題”。用概率論知識計算：如果有n個人參加這一項活動，至
7、少有1人取回自己所帶的禮物的概率以及平均有多少人會取走自己所帶的禮物。模型建立當n較大時，至少有1人取到自己所帶的禮物的概率約為再引入隨即變量而3.報童的訣竅問題報童售報：a(零售價)>b(購進價)>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購進多少份可使收入最大？分析購進太多?賣不完退回?賠錢購進太少?不夠銷售?賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進量每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機的存在一個合適的購進量等于每天收入的期望建模設(shè)每天購進n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準備求
8、n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使a-b~售出一份賺的錢b-c~退回一份賠的錢0rp4.考試成績的標準分問題高等學校的招生考試從1993年起在部分省、市試行“將原始分數(shù)換算為標準分，并公布標準分為錄取的依據(jù)”，在試驗成功的基礎(chǔ)上，參考、借鑒國外的先進做法，當時的國家較為制定了《普通高校全國統(tǒng)一考試建立標準分數(shù)制度實施方案，并逐步推向全國。近幾年來，不僅高考考試試行標準分，而且中考和其它考試也都換算成標準分。什么是標準分，為什么它更合理和科學呢？模型假設(shè)假設(shè)1每科考試的卷面分數(shù)
