2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽.doc

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1、2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題及參考答案1一、選擇題（共6小題，每小題6分，共36分）以下每小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號(hào)字母填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．若有理數(shù)a、b滿足，則等于【】（A）（B）1（C）0（D）無法確定【答】A．第2題圖解：因?yàn)閍、b都是有理數(shù)，且，所以,且，得，所以．2.如圖，由7個(gè)小正方形組成的平面圖形折疊（相鄰的兩個(gè)面垂直）成正方體后，重疊的兩個(gè)面所標(biāo)數(shù)字是【】（A）1和7（B）1和6（C）2和7（D）2和6【答】B．解：若將圖中標(biāo)有1的面去掉，則標(biāo)有2、3、4、5、

2、6、7的六個(gè)面恰好是正方體的一種展開圖，其中標(biāo)有3和6的面是對(duì)面；只看題圖最下面一行，標(biāo)有3和1的面應(yīng)是對(duì)面，所以重疊的兩個(gè)面是標(biāo)有1和6的面，應(yīng)選B．第3題圖3.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)O，AE平分∠CAD交BD于點(diǎn)E，∠ABC=，∠ACB=，給出下列結(jié)論：①∠DAE=；②；③∠AEB=；④∠ACD=．其中一定正確的有【】（A）4個(gè)（B）3個(gè)（C）2個(gè)（D）1個(gè)【答】B．解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=，∴①正確；（2）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∴②正確；（3）∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE+∠CBD=，∴③

3、正確；（4）∵∠BAC=，只有當(dāng)AB∥DC時(shí)，∠ACD=才能成立．∴④不正確.綜上，應(yīng)選B.第4題圖O阿Ayxl1l2CB4．如圖，直線l1、l2相交于點(diǎn)，l1、l2與x軸分別交于點(diǎn)和，則當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：由圖象可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.故應(yīng)選C．5．關(guān)于x的不等式的解集為，則a應(yīng)滿足【】（A）（B）（C）a≥1（D）a≤1【答】B．第6題圖解：由，得，由不等式的解集為，知，所以，得．故應(yīng)選B．6．如圖的象棋盤中，“卒”從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，最短路徑共有【】（A）14條（B）15條（C）20條（D）35條【答】D．解：如右圖，從

4、點(diǎn)A出發(fā)，每次向上或向右走一步，到達(dá)每一點(diǎn)的最短路徑條數(shù)如圖中所標(biāo)數(shù)字，如：到達(dá)點(diǎn)P、Q的最短路徑條數(shù)分別為2和3.以此類推，到達(dá)點(diǎn)B的最短路徑條數(shù)為35條.選D.二、填空題（共6小題，每小題6分，共36分）第8題圖7．計(jì)算：．【答】．解：原式=8．如圖是三個(gè)反比例函數(shù)，，在x軸上方的圖象，則、、的大小關(guān)系為．【答】．解：由圖象可知為負(fù)數(shù)，、為正數(shù)，不妨取x=1，代入解析式，顯然點(diǎn)在點(diǎn)的正下方，所以，又為負(fù)數(shù)，所以．9．有6個(gè)小球，其中黑色、紅色、綠色各2個(gè)，它們除顏色外其它都一樣，將它們放入一個(gè)不透明的袋子中，充分搖勻后，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，摸出的球顏色一樣的概率是．【答】

5、．解：摸出的2個(gè)球都是黑球的概率是，所以摸出的球顏色一樣的概率是.10．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠A=∠B=30°，∠ADC=∠BEC=90°，若AB=8cm，則CD+CE=cm．【答】4．解：在Rt△ADC中，∠A=30°，得，同理,所以(cm)．11．關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根之積等于，則的值是．【答】4．解：由題意得，解得，當(dāng)時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以.12．計(jì)算：.【答】．解：令，則原式=×==.三、解答題（第13題14分，第14題16分，第15題18分，共48分）13．某單位職工參加市工會(huì)組織的健身操比賽進(jìn)行列隊(duì)，已知6人一列少2

6、人，5人一列多2人，4人一列不多不少，請問這個(gè)單位參加健身操比賽的職工至少有幾人？【答案】設(shè)這個(gè)單位參加健身操比賽的職工有y人，6人、5人、4人一列分別可以整排a、b、c列，則．（a、b、c是正整數(shù)）∴4分由②，得因?yàn)閏為正整數(shù)，可令所以（m是正整數(shù)）③將③代入①，得∴7分因?yàn)閎為正整數(shù)，可令所以（n是正整數(shù)）④將④代入③，得11分∴（n是正整數(shù)）.當(dāng)n=1時(shí)，y有最小值52.即參加比賽列隊(duì)的至少有52人.14分14．如圖，在邊長為1的正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（A、B兩點(diǎn)除外），過E、B、C三點(diǎn)的圓與BD相交于點(diǎn)H，與正方形ABCD的外角平分線相交于點(diǎn)F，與CD相交

7、于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形EFCH是正方形；（2）設(shè)BE=x，△CGH的面積是y，求y與x的函數(shù)解析式，并求y的最大值．【答案】（1）∵E、B、C、H、F在同一圓上，且∠EBC=90°，∴∠EHC=90°，∠EFC=90°．2分又∠FBC=∠HBC=45°，∴CF=CH．4分∵∠HBF+∠HCF=180°，∴∠HCF=90°．6分∴四邊形EFCH是正方形．8分（2）∵∠GHB+∠GCB=180°，∴∠GHB=90°，由（1）知∠CHE=90°，∴∠CHG+∠CHB=∠EHB+∠CHB．∴∠CHG=∠EH