《復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型》PPT課件.ppt

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1、自動(dòng)控制原理山東科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院高宏巖自動(dòng)控制原理傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念，也是經(jīng)典控制理論中兩大分支——根軌跡法和頻率法的基礎(chǔ)。利用傳遞函數(shù)不必求解微分方程，就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動(dòng)態(tài)過程。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。2.2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)消去中間變量i(t)，得對上式進(jìn)行拉氏變換求出Uc(s)的表達(dá)式若uc(0)=0或式中T=RC2.2.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)零初始條件下，輸出量拉氏變換輸入量拉氏變換r(t)—輸入量，c(t)—輸出量R(s)=L[r(

2、t)],C(s)=L[c(t)]1、定義思考：為何要規(guī)定零初始條件？規(guī)定初始條件為零是否可行？一是指輸入量是在t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng)，則在t=0-時(shí)，系統(tǒng)輸入量以及其各階導(dǎo)數(shù)均為零；二是指輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)的值也為零。零初始條件描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：線性定常系統(tǒng)的微分方程式一般表達(dá)式為：在零初始條件時(shí)，對上式進(jìn)行拉氏變換，得：【例題】試求如圖所示RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)Uc(S)/Ur(S)方法一：由前面例題可知描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程：在零初始條件下，對上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，得由傳遞函數(shù)定義，得＋－ur(t)＋－

3、uc(t)iRLC方法二：引用復(fù)數(shù)阻抗直接列寫網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程，然后求其傳遞函數(shù)。解：用復(fù)數(shù)阻抗表示電阻時(shí)仍為R，電容C的復(fù)數(shù)阻抗為1/Cs，電感的復(fù)數(shù)阻抗為Ls。則由分壓定律可得：總結(jié)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性，通常由微分方程可寫出傳遞函數(shù)，但對于電網(wǎng)絡(luò)，用復(fù)阻抗法直接求傳遞函數(shù)往往更簡單。＋－Ur(s)＋－Uc(s)RLS1/Cs【例題】求如圖所示有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)Uo(S)/Ui(S)分析：依運(yùn)算放大器的特點(diǎn)，可認(rèn)為放大器輸入電壓u0≈0；又運(yùn)算放大器輸入阻抗很大，可近似認(rèn)為輸入電流i0=0。由上式整理，得-KUiiC0R0R1Uo解：則運(yùn)用復(fù)數(shù)阻抗可得：【例題】試求電樞控制

4、直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)根據(jù)線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數(shù)解：2、傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)G(s)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，且(2)G(s)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息(2)G(s)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息＋－ur(t)＋－uc(t)iRLC(3)G(s)微分方程sd/dtsd/dt(3)G(s)微分方程sd/dtsd/dt(4)G(s)是單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換(5)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)3.傳遞函數(shù)的表示方法1）表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳

5、遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。2)零、極點(diǎn)表示方法（根軌跡分析法常用）將有理分式改寫為式中：zj為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；pi為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（特征根即為極點(diǎn)）；K*＝b0/a0稱為根軌跡增益。將零、極點(diǎn)標(biāo)在復(fù)平面上，則得傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖。零點(diǎn)用“”表示，極點(diǎn)用“”表示。jj3)時(shí)間常數(shù)表示方法將有理分式改寫為式中：τj、Ti分別為分子、分母多項(xiàng)式各因子的時(shí)間常數(shù)；K＝bm/an為放大倍數(shù)或增益。傳遞函數(shù)G(s)如果出現(xiàn)復(fù)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的話，那么復(fù)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)必然是共軛的。上式可改寫成一般表示形式為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，極點(diǎn)決定了系統(tǒng)自由運(yùn)

6、動(dòng)的模態(tài)。2.2.2傳遞函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)輸入函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)前兩項(xiàng)具有與輸入函數(shù)相同的模態(tài),后兩項(xiàng)由極點(diǎn)決定的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，其系數(shù)與輸入函數(shù)有關(guān)輸入信號，零狀態(tài)響應(yīng)分別為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，取決于零點(diǎn)相對于極點(diǎn)的距離。一個(gè)系統(tǒng)可看成由一些環(huán)節(jié)組成的，可能是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等。盡管這些系統(tǒng)的物理本質(zhì)差別很大，但是描述他們的動(dòng)態(tài)性能的傳遞函數(shù)可能是相同的。如果我們從數(shù)學(xué)的表達(dá)式出發(fā)，一般可將一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分為有限的一些典型環(huán)節(jié)所組成，并求出這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)來，以便于分析及研究復(fù)雜的系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有:比例環(huán)節(jié)、慣

7、性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)方框圖：K1.比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時(shí)。舉例：機(jī)械系統(tǒng)中略去彈性的杠桿、無彈性變形的杠桿、放大器、分壓器、齒輪、減速器等等，在一定條件下都可以認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。電位器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)測速發(fā)電機(jī)TGu(t)ω2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)其輸出量與輸入量之間是積分關(guān)系。積分環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為式中：T稱為積分時(shí)間常數(shù)；K稱為