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1、第一節(jié)矩陣的特征值和特征向量相似矩陣及二次型一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性質(zhì)三、小結(jié)思考題返回上頁下頁一、特征值和特征向量的概念則稱：?是矩陣A的特征值；定義1設(shè)A是n階矩陣，如果存在數(shù)?和非零向量x,使得x是A的對應(yīng)于(或?qū)儆?特征值?的特征向量.返回上頁下頁(2)由于亦可寫成齊次線性方程組說明(1)特征向量x?O；特征值問題是對方陣而言的；因此，使得有非零解的?值都是矩陣A的特征值.即，使得的?值都是矩陣A的特征值.返回上頁下頁定義2設(shè)n階矩陣，記則，稱為A的特征多項式；稱為A
2、的特征矩陣.稱為A的特征方程；上頁下頁返回說明(n階矩陣A的特征多項式)(1)是?的n次多項式，若設(shè)其一般形式為則，的系數(shù)；的系數(shù)；常數(shù)項.返回上頁下頁(2)求特征值?，就是求特征方程的根；(3)有n個根(其中有些根可能相同)，其中的k重根也稱為k重特征值.(4)需要注意，即使是n階實矩陣，但其特征方程可能有復(fù)數(shù)根，相應(yīng)的，特征向量也可能是復(fù)向量.特征向量(是全體n維復(fù)向量構(gòu)成的向量空間)即，一般而言，特征值(復(fù)數(shù)域)返回上頁下頁例1求矩陣的特征值和特征向量.解A的特征多項式為令，得A的3個特征值：(
3、單重特征值)(二重特征值)返回上頁下頁將特征值分別代入，求出特征向量：①當(dāng)時，解方程組.得基礎(chǔ)解系則，對應(yīng)于的全部特征向量為.返回上頁下頁②當(dāng)時，解方程組.得基礎(chǔ)解系于是，對應(yīng)于的全部特征向量為如果A是n階對角陣或上(下)三角陣，證返回上頁下頁設(shè)對角矩陣A的主對角元為，上式亦為上(下)三角陣的特征多項式，故有同樣結(jié)論.則，特征多項式為那么，A的特征值就是其n個主對角元.令，可得對角陣的特征值就是其主對角元.返回上頁下頁前面指出，在特征多項式中，的系數(shù)；的系數(shù)；常數(shù)項.二、特征值和特征向量的性質(zhì)n階矩陣
4、A的主對角元之和，稱為A的跡[記作tr(A)].證定理1設(shè)n階矩陣的n個特征值為,則，①②返回上頁下頁另外，是特征方程的根，的系數(shù)和特征多項式相同，因此的系數(shù)和常數(shù)項也與特征多項式必相同，即證畢即，的系數(shù)；常數(shù)項.返回上頁下頁說明，故，若，則A的特征值全為非零數(shù)；若，則A至少有一個特征值等于零.返回上頁下頁例2已知的2個特征值為，解求(1)x,y；(2)；(3)的秩.(1)(2)2是一個特征值，故(3)3不是特征值，即，故是滿秩矩陣，.返回上頁下頁定理2設(shè)都是A的屬于特征值的特征向量，證則也是A的屬于
5、特征值的特征向量.(其中k1,k2為任意常數(shù)，但)說明A的屬于特征值?0的全體特征向量是：的解集中除零向量外的全體解向量.由于都是的解，因此，也是的解.故，當(dāng)時，是A的屬于特征值的特征向量.證畢返回上頁下頁例3求矩陣的特征值和特征向量.解A的特征多項式為(單重根)(二重根)令，得A的3個特征值：返回上頁下頁將特征值分別代入，求出特征向量：①當(dāng)時，解方程組.得基礎(chǔ)解系則，對應(yīng)于的全部特征向量為.返回上頁下頁②當(dāng)時，解方程組.得基礎(chǔ)解系則，對應(yīng)于的全部特征向量為返回上頁下頁性質(zhì)1設(shè)?0是矩陣A的特征值，?
6、是A的屬于?0的特征向量，則①k?0是kA的特征值(k是任意常數(shù))；②是的特征值(m是正整數(shù))；③設(shè)一個k次多項式，則，是矩陣A的k次多項式的特征值；④若A可逆，則是的特征值；并且，?仍然是以上①②③④中這些矩陣的分別屬于特征值的特征向量.返回上頁下頁這里只證明性質(zhì)②，其余留作練習(xí).證繼續(xù)進(jìn)行以上步驟m－3次，得因此，是的特征值，?是的對應(yīng)于特征值的特征向量.證畢兩端同時左乘A兩端同時左乘A特征向量總是相對于特征值而言的，一個特征向量不能同時屬于不同的特征值.說明兩式相減由于，則有.這是不可能的(與“
7、特征向量是非零向量”矛盾)即假設(shè)?同時是屬于特征值?1,?2(?1??2)的特征向量,返回上頁下頁返回上頁下頁例4設(shè)是可逆矩陣A的一個特征值，求的一個特征值.解根據(jù)特征值的性質(zhì)，的特征值是;的特征值是;的特征值是;的特征值是返回上頁下頁性質(zhì)2A和AT的特征值相同(即特征多項式相同).證因此，A和AT有完全相同的特征多項式.證畢說明A和AT的特征向量不一定相同.例如，皆有二重特征值，但它們相應(yīng)的特征向量分別為返回上頁下頁定理3矩陣A屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.證令設(shè)是A的m個互異的特征值，是屬
8、于各特征值的特征向量.若記下面將證明：只有當(dāng)線性組合系數(shù)ki全部為零時才能使上式成立，即，線性無關(guān).上式變?yōu)榉祷厣享撓马撈渲械挠袃煞N可能性：(ii)屬于特征值的特征向量(如果)(i)零向量(如果)不論哪種情況，皆有……①對①式兩端同時左乘A，得AAA即……②對②再左乘A，如此重復(fù)下去，共m－1次，最后有返回上頁下頁………………以上m個等式可合寫成矩陣等式：返回上頁下頁因此，是可逆矩陣.行列式由于特征值各不相同，所以行列式的值不等于零.（范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置
