資源描述：
《矩陣的特征值與特征向量(呂).ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第五章相似矩陣及二次型矩陣的特征值與特征向量向量的內(nèi)積相似矩陣實對稱矩陣的對角化二次型及其標準型正定二次型§5.2矩陣的特征值與特征向量一、基本概念三、特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量特征多項式與特征方程二、特征值與特征向量的計算一.方陣的特征值與特征向量1.特征值與特征向量的定義定義1:注：設(shè)是階方陣，若數(shù)和維非零列向量，使得成立，則稱是方陣的一個特征值，為方陣的對應于特征值的一個特征向量。是方陣1.定義2.求法3.性質(zhì)（2）特征向量是非零列向量（4）一個特征向量只能屬于一個特征值（3）方陣的與特征值對應的特征向量不唯一一、基本概念Ax?4x從幾
2、何上來看，特征向量x的方向經(jīng)過線性變換后，保持在同一條直線上，這時或者方向不變或者方向相反,至于時，特征向量就被線性變換變成0.2.特征值與特征向量的求法或已知所以齊次線性方程組有非零解或定義2：數(shù)是關(guān)于的一個多項式，稱為矩陣的特征多項式。稱為矩陣的特征方程。求特征值、特征向量的求解過程：求出即為特征值;把得到的特征值代入上式，求齊次線性方程組的非零解即為所求特征向量。齊次線性方程組的通解（去掉零解）即為與λ對應的全部特征向量。解：第一步：寫出矩陣A的特征方程，求出特征值.例1：求矩陣的特征值和全部特征向量.特征值為第二步：對每個特征值代入齊次線性方程組
3、求非零解。齊次線性方程組為當時，系數(shù)矩陣自由未知量:令得基礎(chǔ)解系:常數(shù))是對應于的全部特征向量。齊次線性方程組為當時，得基礎(chǔ)解系常數(shù))是對應于的全部特征向量。例３設(shè)求A的特征值與特征向量．解得基礎(chǔ)解系為：思考：對角陣的特征值是什么？三角形矩陣的特征值是什么？所以齊次線性方程組AX?o有非零解X1。例3．試證：n階矩陣A是奇異矩陣的充分必要條件是A有一個特征值為零。證：必要性：如果A是奇異矩陣，充分性：設(shè)A有一個特征值為0，對應的特征向量為X1。
4、0E-A
5、?則
6、A
7、?0。
8、-A
9、?(-1)n
10、A
11、?0，即0是A的一個特征值。由特征值的定義，有AX1?0X
12、1?o(X1?o)，由此可知
13、A
14、?0，即A為奇異矩陣。三、特征值與特征向量的性質(zhì)【性質(zhì)１】設(shè)A為n階矩陣，則A與AT有相同的特征值?！拘再|(zhì)2】如果n階方陣A的全部特征值為l1，l2，???，ln，（k重特征值算作k個特征值），則
15、lE-A
16、=
17、(lE-A)T
18、=
19、lE-AT
20、∴l(xiāng)1l2??ln＝
21、A
22、證明由性質(zhì)2可知，若A是可逆矩陣，即
23、A
24、≠０，則Ａ的任一個特征值都不為零．則ＡＸ＝λＸ，因而即λ-１是A-１的特征值，x也是A-１的對應于λ-１的特征向量.【性質(zhì)3】若Ｘ是Ａ的屬于特征值λ的特征向量，【性質(zhì)4】即若f(x)是一個多項式，λ是A的特征值．則
25、f(λ)是f(A)的特征值,且對應特征向量相同.證明對應特征向量是:對應特征向量也是:證明則即類推之，有P165引理1把上列各式合寫成矩陣形式，得例6、矛盾。證明課堂練習題一、單選題１．可逆矩陣Ａ與矩陣（）有相同的特征值．①ＡＴ；②Ａ－１；③Ａ２；④Ａ＋Ｅ２．Ａ為n階方陣，則（）結(jié)論成立．①Ａ可逆，則矩陣Ａ屬于特征值λ的特征向量也是Ａ－１屬于λ－１的特征向量；②Ａ的特征向量既為方程（λＥ－Ａ）Ｘ＝０的全部解；③特征向量的線性組合仍是特征向量．④Ａ與ＡＴ特征向量相同．課堂練習題一、單選題答案：１．①；２．①;3.④３．設(shè)Ａ是一個可逆矩陣，則其特征值中（）①
26、．有零特征值②有二重特征值零③可能有也可能無零特征值④無零特征值二、填空題課堂練習題１．已知三階方陣Ａ的三個特征值為１，－２，３．則
27、A
28、＝（），Ａ－１的特征值為（），ＡＴ的特征值為（），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值為（）．２．設(shè)Ａk=0，k是正整數(shù)，則Ａ的特征值為（）．３．若Ａ２＝Ａ，則Ａ的特征值為（）．－６１，-1/2,1/3１，－２，３．4,1,1600,1二、填空題課堂練習題4．設(shè)A是3階方陣，已知方陣Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，則Ａ的特征值為（）．５．已知三階矩陣A的特征值為１，—１，２，則｜Ａ－５Ｅ｜＝（）。1,-1,3-72會求方陣的特征值
29、和特征向量熟記特征值和特征向量的性質(zhì)作業(yè)：P138：5（1），8，11，12要求：練習：4、方程(lE-A)x?o的解都是特征值l的特征向量嗎？1、設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)l和n維非零列向量x滿足________，則稱l為A的特征值，x稱為A的對應于特征值l的特征向量。Ax?lx2、數(shù)l為A的特征值?l滿足_________。
30、lE-A
31、?03、向量x為A的對應于特征值l的特征向量?x滿足___________。(lE-A)x?o5、矩陣lE-A稱為______________，7、方程
32、lE-A
33、?0稱為______________。6、l的n次多項式
34、
35、lE-A
36、稱為________________.A的特征矩陣A的特征多項式A的特
