一道中考數(shù)學壓軸題的解法探究_鄧文忠.pdf

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1、第2期初中數(shù)學教與學一道中考數(shù)學壓軸題的解法探究鄧文忠(陜西省洋縣黃安初中，723307)以能力立意的2013年陜西省中考數(shù)學壓若不存在，說明理由．軸題是一道探究題，重在考查學生分析問題解(1)如圖1所示．和解決問題的綜合能力．此題以圓、正方形、(2)如圖2，連結(jié)AC、BD相交于點O，作直特殊梯形、等分面積等為載體，以全等三角線OM分別交AD、BC于P、Q兩點．過點O作形、正方形、梯形及菱形性質(zhì)、相似三角形、梯OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點．則直線形面積等分線的作圖為切入點，考查全面，綜OM、EF將正方形ABCD的面積四等分．合性強，注重培

2、養(yǎng)學生的數(shù)學思考和應(yīng)用創(chuàng)理由如下:新意識．三個問題由淺入深，有利于不同水平∵點O是正方形的對稱中心，學生的區(qū)分．經(jīng)筆者深入研究，第(3)問也可∴AP=CQ，EB=DF．單獨成題，解法靈活多樣，而多角度的思考對在AOP和EOB中，錘煉思維大有裨益．下面提供此問的另解，供∵∠AOP=90°－∠AOE，參考．∠BOE=90°－∠AOE，原題問題探究∴∠AOP=∠BOE．(1)請在圖1中作出兩條直線，使它們將∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，圓面四等分;∴AOP≌EOB，(2)如圖2，M是正方形ABCD內(nèi)一定點，∴AP=BE=DF=CQ，請

3、在圖2中作出兩條直線(要求其中一條直線∴AE=BQ=CF=PD．必須過點M)，使它們將正方形ABCD的面積設(shè)點O到正方形ABCD一邊的距離為d．四等分，并說明理由．1則有(AP+AE)d%APD2M1=(BE+BQ)dF2OEO1=(CQ+CF)d2BQC1=(PD+DF)d．圖1圖22∴S=S=S問題解決四邊形APOE四邊形BEOQ四邊形CQOF=S，(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，四邊形POFDAB+CD=BC，點P是AD的中點．如果AB=∴直線EF、OM將正方形ABCD的面積四a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在等分．

4、一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面(3)存在．當BQ=CD=b時，PQ將四邊積分成相等的兩部分?若存在，求出BQ的長;形ABCD的面積二等分．·35·初中數(shù)學教與學2014年理由如下:∴CP是BCE的中線，如圖3，延長BA到點E，使AE=b，延長∴SBPQ+SPQC=SPCD+SDEP．①CD到點F，使DF=a，連結(jié)EF．要等分梯形，即要使%S+S=S+S．②EBPQABPPCDPQCF考慮到S=S，ABPDEPDP①－②，并化簡，得SPQC=SDEP．MA由于PM=PN，故只需QC=DE=a即可，此時BQ=b．B

5、QC∴當BQ=b時，直線PQ將四邊形ABCD圖3的面積分成相等的兩部分．∵BE瓛CF，BE=BC=a+b，%E∴四邊形EBCF是菱形．連結(jié)BF交AD于點M，則PDMAB≌MDF，AN∴AM=DM，BMQC∴P、M兩點重合，圖4∴P點是菱形EBCF對角線的交點．在BC上截取BQ=CD=b，點評圖中結(jié)論除CP平分∠BCD外，還則CQ=AB=a．有BP平分∠ABC，BP⊥PC．這在梯形中是一設(shè)點P到菱形EBCF一邊的距離為d，道名題．圖中輔助線是梯形、角平分線的常見1輔助線;圖中化梯形為三角形，先從等分三角則(AB+BQ)d2形面積入手，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思

6、想．11=(CQ+CD)d=(a+b)d，另解2先準確地作出PQ，再算結(jié)果．22如圖5，過點B作BE∥AD交CD于點E，∴S=S．四邊形ABQP四邊形QCDP過點P作PM∥AB交BE于點M．連結(jié)MC、∴當BQ=b時，直線PQ將四邊形ABCDPC．過點M作MQ∥PC，交BC于點Q，則PQ的面積分成相等的兩部分．為梯形ABCD面積的等分線．第(3)問解法精巧，用了構(gòu)造菱形及同一%D法證P、M兩點重合，雖然受到第(2)問解法的P啟示，但仍有一定難度．為此，下面另辟蹊徑，AEMF多角度思考，探究不同解法．BNQC另解1不必準確地作出PQ，直接計算結(jié)果．圖5

7、如圖4，連結(jié)BP，并延長交CD延長線于點E，連結(jié)CP．理由:由于P、M分別為AD、BE中點，易證ABP≌DEP，∴S+SABMP=S+S，BCMCMEPMED則DE=AB=a，BP=PE，即C－M－P等分梯形面積．∴CE=a+b=BC．由MQ∥PC，得由“三線合一”得∠BCP=∠DCP．S=S，S=S，QMPQMCFMPQFC過點P作PM⊥BC于點M，作PN⊥CE∴S+SBCMABMP于點N，則PM=PN．=S+S+SBQMQMCABMP·36·第2期初中數(shù)學教與學=S+S+SF．連結(jié)PE、PF，取EF的中點Q，則PQ

8、為梯形BQMQMPABMP=S．ABCD的面積等分線．四邊形ABQPSCME+SPMED理由:∵AE∥PB、DF