數(shù)值分析第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1詳解.doc

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1、第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1數(shù)值積分的基本概念實(shí)際問題當(dāng)中常常需要計(jì)算定積分。在微積分中，我們熟知，牛頓—萊布尼茲公式是計(jì)算定積分的一種有效工具，在理論和實(shí)際計(jì)算上有很大作用。對(duì)定積分，若在區(qū)間上連續(xù)，且的原函數(shù)為，則可計(jì)算定積分似乎問題已經(jīng)解決，其實(shí)不然。如1）是由測量或數(shù)值計(jì)算給出數(shù)據(jù)表時(shí)，Newton-Leibnitz公式無法應(yīng)用。2）許多形式上很簡單的函數(shù)，例如等等，它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。3）即使有些被積函數(shù)的原函數(shù)能通過初等函數(shù)的有限形式表示，但應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算，仍涉及大量的數(shù)值計(jì)算，還不如應(yīng)用數(shù)值積分的方法來得方便，既

2、節(jié)省工作量，又滿足精度的要求。例如下列積分對(duì)于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計(jì)算方法——數(shù)值積分法。1.1數(shù)值求積分的基本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應(yīng)該避免用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。由積分中值定理：對(duì)，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖4-1）。問題在于點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出。我們將稱為區(qū)間上的平均高度。這樣，只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積分方法。如果我們用兩端的算術(shù)平均作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式(4-1)便是我們所熟悉的梯形公式（圖4-2）。而

3、如果改用區(qū)間中點(diǎn)的“高度”近似地取代平均高度，則可導(dǎo)出所謂中矩形公式（簡稱矩形公式）(4-2)16更一般地，我們可以在區(qū)間上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn)，然后用加權(quán)平均得到平均高度的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：圖4-1圖4-2(4-3)式中稱為求積節(jié)點(diǎn)；成為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)。權(quán)僅僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式。這類由積分區(qū)間上的某些點(diǎn)上處的函數(shù)值的線性組合作為定積分的近似值的求積公式通常稱為機(jī)械求積公式，它避免了Newton-Leibnitz公式尋求原函數(shù)的困難。對(duì)于求積公式(4-3)，關(guān)鍵在于確定節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的系數(shù)。1.2代數(shù)精

4、度的概念由Weierstrass定理可知，對(duì)閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多項(xiàng)式一致逼近。一般說來，多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近程度越好。這樣，如果求積公式對(duì)階多項(xiàng)式精確成立，那么求積公式的誤差僅來源于階多項(xiàng)式對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近誤差。因此自然有如下的定義定義4.1如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過的多項(xiàng)式均準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。例1判斷求積公式的代數(shù)精度。解記因?yàn)?6所以求積公式具有5次代數(shù)精度。1.3插值型的求積公式最直接自然的一種想法是用在上的插值多項(xiàng)式代替，由于代數(shù)多項(xiàng)式的原函數(shù)是容易求出的，我們以在上的積分值作為所

5、求積分的近似值，即這樣得到的求積分公式稱為插值型求積公式。通常采用Lagrange插值。設(shè)上有個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，的次Lagrange插值多項(xiàng)式為其中，插值型求積公式為(4-4)其中?？煽闯觯瑑H由積分區(qū)間與插值節(jié)點(diǎn)確定，與被積函數(shù)的形式無關(guān)。求積公式(4-4)的截?cái)嗾`差為(4-5)定義4.2求積公式如其系數(shù)，則稱此求積公式為插值型求積公式。定理4.1形如(4-3)的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是插值型的。證明如果求積公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，對(duì)于次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，其余項(xiàng)等于零，因而這時(shí)求積公式至少具有次代數(shù)精度。反之，如果求積公式(

6、4-3)至少具有次代數(shù)精度，那么對(duì)于插值基函數(shù)應(yīng)準(zhǔn)確成立，并注意到，即有16所以求積公式(4-3)是插值型的。1.4求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義4.3在求積公式(4-3)中，若其中，則稱求積公式(4-3)是收斂的。實(shí)際使用任何求積公式時(shí)，除截?cái)嗾`差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數(shù)值穩(wěn)定性。在求積公式(4-3)中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即，記如果對(duì)任給正數(shù)，只要誤差充分小就有(4-6)它表明求積公式(4-3)計(jì)算是穩(wěn)定的，由此給出：定義4.4對(duì)任給，若存在，只要就有(4-6)成立，則稱求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。定理4.2若求積公式(4-3)中

7、系數(shù)，則此求積公式是穩(wěn)定的；若有正有負(fù)，計(jì)算可能不穩(wěn)定。證明對(duì)任給，若取，對(duì)都有，則有注意對(duì)任何代數(shù)精度的求積公式均有可見時(shí)，有由定義4.4可知求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。若有正有負(fù)時(shí)，假設(shè)，且，有16它表明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差的增大，即計(jì)算可能不穩(wěn)定。2Newton-Cotes公式2.1Cotes系數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)變化平緩，可用等距節(jié)點(diǎn)插值公式近似。將積分區(qū)間劃分為等分，步長，等距節(jié)點(diǎn)。此時(shí)求積公式(4-4)中的積分系數(shù)可得到簡化作變換，則有令則，求積公式(4-4)可簡化為(4-7)稱為階Newton-Cotes公式，簡記為N-C公式

8、，稱為Cotes系數(shù)。由的表達(dá)式可看出，它不但與被積