一類具有可轉(zhuǎn)移變量核的Hilbert型奇異重積分算子的有界性與范數(shù)及其應(yīng)用.pdf

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1、第31卷第3期工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)v01.31N。.32014~06JqCHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJune2014doi:10.3969/j.issn.1005—3085.2014.03.008文章編號:1005—3085(2014)03.0387-12一類具有可轉(zhuǎn)移變量核的Hilbert型奇異重積分算子的有界性與范數(shù)及其應(yīng)用水洪勇f廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣州5103201摘要:研究Hilbert型奇異積分算子的重要問題之一,是討論其積分核具有何種特征時(shí)算子是有界的,并進(jìn)一步討論算子的范數(shù)表達(dá)式.本文定義了含有兩個(gè)參數(shù)的可轉(zhuǎn)移變量函數(shù)

2、,一般地,這是一種非齊次函數(shù).本文利用權(quán)系數(shù)方法及實(shí)分析技巧,討論了此類函數(shù)作為積分核的Hilbert型重奇異積分算子的有界性,得到其范數(shù)表達(dá)式及相應(yīng)的參數(shù)條件,所得結(jié)果包含了諸多文獻(xiàn)中的結(jié)論.最后,文中討論了理論結(jié)果的應(yīng)用.關(guān)鍵詞:可轉(zhuǎn)移變量函數(shù)核;Hilbert型奇異重積分算子;有界算子;算子范數(shù)分類號:AMS(2000)26D15中圖分類號:O178文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A1預(yù)備知識與引理設(shè)+===1(P>1),f∈L(0,+oo),g∈L(0,+∞),有著名的Hilbert積分不等式【1】廠0J廠o佃X+Y捌一sin(I~I"/p)II~lIp一llq,(、1)其等價(jià)式為佃(佃d)p

3、()Ilfll~.(2)(,)(/o悃則(2)式可寫為一IIfll面’由于常數(shù)因子7r是最佳的,因而的(p,p)型范數(shù)為71"IITII=sup=f6LP(0P811117[.(0,’刪+)IIJll/,收稿日期:2012—09—17.作者簡介:洪勇(1959年10月生),男,教授.研究方向:調(diào)和分析和解析不等式基金項(xiàng)目:廣東省自然科學(xué)基金(S2012010010376).工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)第31卷Hilbert奇異積分算子的研究是分析學(xué)中的重要課題,在許多領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用.對于齊次核的情形,已取得眾多研究成果[。一。】,但非齊次核情形的研究并不多.本文將引入可轉(zhuǎn)移變量函數(shù)新概念,并研

4、究具有此類積分核的Hilbert型重積分算子的有界性與(P,P)型范數(shù).最后討論其應(yīng)用.設(shè)n∈,P>1,w(x)非負(fù)可測,引入如下記號:R=X=(Xl,X2,?,X):Xl>0,X2>0,?,>0),1IlI=(Xl++?+Xn),OL>0,pn)>0:II/11===(㈤d)吉<+∞}.定義1設(shè)2≠0,若函數(shù)g(u,V)具有形式G(uAV12),則稱(,V)是具有參數(shù)(1,2)的可轉(zhuǎn)移變量函數(shù).顯然,可轉(zhuǎn)移變量函數(shù)具有如下性質(zhì):對于t>0,有K(tu,):(,),(釓,t)=K(t~u,).一般地,可轉(zhuǎn)移變量函數(shù)是一種非齊次函數(shù),并且可轉(zhuǎn)移變量函數(shù)是廣泛存在的.因而研究具有可轉(zhuǎn)移

5、變量函數(shù)核的重積分算子具有重要意義.設(shè)K(u,V)非負(fù)可測,我們將研究如下的Hilbert型奇異重積分算子(Tf)(y)=t,/(,)f(x)dx,Y∈.(3)R引理1[10]設(shè)>0,ai>0,OLi>0,i=1,2,?,n,(亂)是可測函數(shù).那么-/?,。,.一,>。;詈。+詈。。+...+詈f\f\!al1/+(毒)。+··。+(乏)“)×一:。一?一dx1dx2?dx:!2_竺;毛廠()+囂十?+一d,12?r(++?+)o一’其中r(t1是Gamma函數(shù).引理2設(shè)1+1=1(p>1),>0,n∈,12>0,0與6是常數(shù),對£>0,非負(fù)可測函數(shù)(,V)滿足K(tu,):(,t

6、),(,t)=K(t~u,),那么,有:第3期洪勇:一類具有可轉(zhuǎn)移變量核的Hilbert型奇異重積分算子的有界性與范數(shù)及其應(yīng)用3891)成立如下等式r()(4)t,/K(1Ixll,Ilyil。)I:印dy=一rfn)‘n廠(1,)un-bp-1d,Rd0r()/K(Iixii,Ilyii。)lixii;dx=魯‘?q廠(,1)un-aq-1(5)JR0[,n-1r(詈)J02)若16p一2aq=仡(12),則+。。=1(aq)(,)一口q一d釓_。:。廠佃(1,u)undu=2Wl(bp)(6)d0證明11由引理1,有)K(II曲=(1,in2~inin。)ilH~"bPd=li

7、mf?.++。。一肌咖.?!?,ii圳拳r[()。+()“+?+()]丟)×[r(()。+()+?+())吉]曲d?d廠(1,(1))(r)-bPu詈一dr_++。?!眑。l)0(1,ill多t)t一bp一1dt+。。r幾(吉)(1,iill拳t)t一6p—ldtOLnr()r()(n廠佃(1,)un-bp-1出o~n-1r(詈)d0故(4)式成立.同理可證(5)式也成立.390工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)第31卷2)因?yàn)橐籄2aq=n(1一2),故(禮一aq)一1=佗一bp一1.于

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