分期付款中的數(shù)學(xué)問題.pdf

《分期付款中的數(shù)學(xué)問題.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、課堂內(nèi)外2014-06分期付款中的數(shù)學(xué)問題文/鄭邦彥摘要：分期付款是一種常見的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，其涉及指數(shù)函數(shù)和數(shù)列知識(shí)。在教學(xué)中主要從數(shù)學(xué)的角度去分析和解釋。借助經(jīng)濟(jì)學(xué)中PV（presentvalue）現(xiàn)值和FV（futurevalue）未來值的概念，給出分期付款的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，提高經(jīng)濟(jì)上的數(shù)學(xué)鑒別力。關(guān)鍵詞：分期付款；數(shù)學(xué)問題；指數(shù)函數(shù)；數(shù)列隨著我國國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們對(duì)高品質(zhì)生活的追求，消費(fèi)就是指當(dāng)前所持有的一定量貨幣比未來獲得的等量貨幣具有更高信貸（包括個(gè)人消費(fèi)貸款、旅游貸款、國家助學(xué)貸款、汽車消費(fèi)貸的價(jià)值，因?yàn)?/p>

2、貨幣隨著時(shí)間的推移而發(fā)生了增值，是資金周轉(zhuǎn)使用款、住房按揭貸款等）日益廣泛。分期付款的消費(fèi)方式為越來越多后的增值額。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度而言，現(xiàn)在的一單位貨幣與未來的一的消費(fèi)者所接受。一方面就消費(fèi)者而言，只需要支付少量首付款，單位貨幣的購買力之所以不同，是因?yàn)橐?jié)省現(xiàn)在的一單位貨幣通過向銀行先借款，就可以得到價(jià)值高于首付款的商品，然后再以不消費(fèi)而改在未來消費(fèi)，則在未來消費(fèi)時(shí)必須有大于一單位的貨分期付款的方式來還款。方便了顧客購物和付款，解決了消費(fèi)者的幣可供消費(fèi)，作為彌補(bǔ)延遲消費(fèi)的補(bǔ)償。為說明這個(gè)問題，引入兩需求與實(shí)際

3、購買力之間的矛盾，刺激了消費(fèi)者的購買欲望，提高了個(gè)概念：購買力；另一方面，就銷售者而言，由于消費(fèi)者購買力的增強(qiáng)，商品FV（Futurevalue）未來值（復(fù)利值），是指若干期以后包括本金的銷售量大大提高，也因此獲得更大的經(jīng)濟(jì)效益?？梢姺制诟犊顚?duì)和利息在內(nèi)的未來價(jià)值，俗稱本利和，即把現(xiàn)在的一定數(shù)額的錢按買方和賣方皆有益處。消費(fèi)者購買力的增強(qiáng)和銷售者銷售量的提一定的利率轉(zhuǎn)化成未來的一定數(shù)額。高，必然會(huì)極大地促進(jìn)市場的繁榮，從而促進(jìn)整個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)10000元現(xiàn)金存入銀行，年利率為3%，每年計(jì)息一次。展。本文來探討如

4、何確定分期付款金額，并理解其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。分則1年后FV（或本息和）為10000（1+3%）期付款方式主要有等額還款和等本金還款兩種。現(xiàn)舉例說明每期2年后FV（或本息和）為10000（1+3%）2的還款額確定。nn年后FV（或本息和）為10000（1+3%）一、等額還款方式PV（presentvalue）現(xiàn)值：將來的一筆現(xiàn)金在當(dāng)前的價(jià)值。它是案例1：購買一件售價(jià)為10000元的商品，采用分期付款的辦指對(duì)未來現(xiàn)金以恰當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率（一般指利率）進(jìn)行折現(xiàn)后的價(jià)值，法，每期付款數(shù)相同，購買后第二月月初開始付款，每月1次，分

5、即把未來的收入折算成現(xiàn)在的價(jià)值，12個(gè)月還清，如果按月利率0.5%，每月利息按復(fù)利計(jì)算（上月利息同理，若年利率為3%，每年計(jì)息一次要計(jì)入下月本金），那么每期應(yīng)付款多少。100001年后10000元在今天的現(xiàn)值PV為分析：本題可通過逐月計(jì)算剩余欠款額，根據(jù)題意第12個(gè)月1+3%后的欠款數(shù)為零，據(jù)此可得等量關(guān)系。設(shè)每期等額還款額為A，貸100002年后10000元在今天的現(xiàn)值PV為（1+3%）2款數(shù)額為B=10000，則：第1月后剩余欠款額B（1.005）-An年后10000元在今天的現(xiàn)值PV為10000（1+3%

6、）n第2月后剩余欠款額{B（1.005-A）（}1.005）-APV與FV的關(guān)系如下：第3月后剩余欠款額{{B（1.005-A）（}1.005）-A（}1.005）-AnFV第12月后剩余欠款額{{…{{B（1.005-A）（}1.005）-A}…}}FV=PV（1+r）或PV=n（其中r為每期利率，n表期數(shù)）（1+r）（1.005）-A=0AAAA上式（1）B=++…的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義，共12層括號(hào)。通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為如下：1.0051.00521.00531.00512B=A+A+A…A……（1）等式的右端把每個(gè)月所

7、還的錢折現(xiàn)為期初現(xiàn)值，其必等于期初借1.0051.00521.00531.00512款B?；駼1.00512=A+A1.005+A1.0052+A1.0053…A1.00511……（2）上式（2）B1.00512=A+A1.005+A1.0052+A1.0053…A1.00511的經(jīng)對(duì)于上述二式，由等比數(shù)列知識(shí)均可得出：濟(jì)學(xué)意義，等式左端把期初的值轉(zhuǎn)化為12個(gè)月后的未來值（FV），B1.005120.005A=1.00512-1等式的右端把每個(gè)月所還的錢轉(zhuǎn)化為12個(gè)月后的未來值。本題曾作為“北京首屆‘方正杯’中

8、學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽”試由上述兩式把每期所還的款和所借款轉(zhuǎn)化成同一時(shí)間的值，題，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)中的探究題，其推理過程比較復(fù)雜，學(xué)生理并使其相等，從而得出每期的還款額。利用這個(gè)方法我們方便求出解有一定難度。上述兩式都有其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。本文將借助經(jīng)濟(jì)學(xué)中一般的分期付款問題。PV（presentvalue）現(xiàn)值和FV（futurevalue）未來值的概念，給出上案例2：小王向建設(shè)銀行貸款10