函數(shù)模型及其應(yīng)用_1

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1、函數(shù)模型及其應(yīng)用數(shù)學(xué)必修1：函數(shù)模型及其應(yīng)用1．抽象概括：研究實際問題中量，確定變量之間的主、被動關(guān)系，并用x、分別表示問題中的變量；2．建立函數(shù)模型：將變量表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；3．求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解這些步驟用框圖表示是：例1如圖所示，在矩形ABD中，已知AB=a，B=b（b＜a）,在AB，AD，D，B上分別截取AE，AH，G，F(xiàn)都等于x，當(dāng)x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

2、并求出最大面積解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S，則S△AEH=S△FG=x2,S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由圖形知函數(shù)的定義域為{x

3、0＜x≤b}又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b時，則當(dāng)x=時，S有最大值;若＞b,即a＞3b時，S（x）在（0,b］上是增函數(shù)，此時當(dāng)x=b時，S有最大值為-2(b-)2+=ab-b2,綜上可知，當(dāng)a≤3b時，x=時，四邊形面積Sax=,當(dāng)a＞3b時，x=b

4、時，四邊形面積Sax=ab-b2變式訓(xùn)練1：某商人將進(jìn)貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大值解：設(shè)每個提價為x元（x≥0），利潤為元，每天銷售總額為（10+x）（100-10x）元，進(jìn)貨總額為8（100-10x）元，顯然100-10x＞0,即x＜10,則=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x

5、)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10)當(dāng)x=4時，取得最大值，此時銷售單價應(yīng)為14元，最大利潤為360元例2據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v（/h）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示，過線段上一點T（t，0）作橫軸的垂線l，梯形AB在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（）（1）當(dāng)t=4時，求s的值；（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出；（3）若N城位于地正南方向，且距地60，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲

6、到N城？如果不會，請說明理由解：（1）由圖象可知：當(dāng)t=4時，v=3×4=12,∴s=×4×12=24（2）當(dāng)0≤t≤10時，s=•t•3t=t2，當(dāng)10＜t≤20時，s=×10×30+30（t-10）=30t-10；當(dāng)20＜t≤3時，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-0綜上可知s=(3)∵t∈［0，10］時，sax=×102=10＜60t∈（10，20］時，sax=30×20-10=40＜60∴當(dāng)t∈（20，3］時，令-

7、t2+70t-0=60解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤3,∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入）為0萬元，但每生產(chǎn)100臺，需要加可變成本（即另增加投入）02萬元市場對此產(chǎn)品的年需求量為00臺，銷售的收入函數(shù)為R（x）=x-（萬元）(0≤x≤)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；[:學(xué)≈科≈網(wǎng)Z≈X≈X≈]（2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？（3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？

8、解：（1）當(dāng)x≤時，產(chǎn)品能售出x百臺；當(dāng)x＞時，只能售出百臺，故利潤函數(shù)為L（x）=R（x）-（x）=(2)當(dāng)0≤x≤時，L（x）=47x--0，當(dāng)x=47時，L(x)ax=107812萬元當(dāng)x＞時，L（x）=12-02x為減函數(shù)，此時L（x）＜107(萬元）∴生產(chǎn)47臺時利潤最大（3）由得x≥47-=01(百臺）或x＜48(百臺)∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4800臺時，工廠不虧本例3某市居民自水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為180元，當(dāng)用水超過4噸時，超過部分每噸300元，某月甲、乙兩戶共

9、交水費元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為x，3x噸（1）求關(guān)于x的函數(shù)；（2）若甲、乙兩戶該月共交水費264元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費解：（1）當(dāng)甲的用水量不超過4噸時，即x≤4，乙的用水量也不超過4噸，=（x+3x）×18=144x;當(dāng)甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時